División algebraica de polinomios

En este artículo vamos a desarrollar el tema División algebraica de polinomios, nos vamos a enfocar en resolver ejercicios de una manera práctica. Vamos a ir al grano, por esa razón te invito a que ya tengas nociones sobre Polinomios y leyes de exponentes.

Recuerda que en el álgebra todo es secuencial. Dicho esto, vayamos al grano.

División algebraica de polinomios ejercicios

Ejercicio 1

Al dividir:

ax^{2}-8x^{2}+5x-1

entre:

x^{2}+3x-1

se obtiene como cociente

x^{2}-3x+2

y como residuo mx+1. ¿Cuál es el valor de 8a+m?

a) -4
b) -2
c) 7
d) 4
e) 2

Solución:

En la división algebraica de polinomios

\frac{ax^{4}-8x^{2}+5x-1}{x^{2}+3x-1}

se obtuvo:

\begin{align*}
q_{\left ( x \right )}&=x^{2}-3x+2\\
R_{\left ( x \right )}&=mx+1
\end{align*}

Usando la identidad fundamental de la división de polinomios

{\color{Red} D_{\left ( x \right )}=d_{\left ( x \right )}q_{\left ( x \right )}+R_{\left ( x \right )}}

Luego

\small
ax^{4}-8x^{2}+5x-1\equiv \left ( x^{2}+3x-1 \right )\\ \cdot\left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )+mx+1

Para x=1, obtendremos la ecuación 1

a-4=0+m+1\\\rightarrow a-m=5

Para x=2, obtendremos la ecuación 2

16a-23=2m+1\\\rightarrow 8a-m=12

De ambas ecuaciones obtenemos:

a=1\wedge m=-4
\therefore 8a+m=8+\left ( -4 \right )=4

Respuesta: Clave D

Ejercicio 2

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

  1. En una división algebraica de polinomios, si el grado del divisor es m, su cociente será a lo más de grado m-1.
  2. El grado del cociente puede ser menor que el grado del residuo.
  3. El grado del divisor es mayor que el grado del cociente.

a) VVV
b) VFF
c) FFV
d) VVF
e) FVF

Solución:

Analizamos el valor de verdad de cada uno de los enunciados:

  1. FALSO
    Si el divisor es de grado m, su cociente será a lo más de grado m-1
  2. VERDADERO
    El grado del cociente puede ser menor al grado del residuo.
    Si puede y depende del grado del dividendo.
  3. FALSO
    El grado del divisor es mayor al grado del cociente.
    No necesariamente.

Respuesta: Clave E

Ejercicio 3

¿Cuál es el cociente de la siguiente división?

\frac{x^{31}-x^{29}+x^{5}-x^{3}+3x-1}{x^{2}-1}
\begin{aligned}
a)\ &x^{29}+x^{4}-1\\
b)\ &x^{29}-x^{27}+x^{3}-x+3\\
c)\ &x^{29}+x^{3}\\
d)\ &x^{29}+x^{3}+1\\
e)\ &x^{29}+x^{3}+x-1
\end{aligned}

Solución:

Nos piden el cociente de la división

\frac{x^{31}-x^{29}+x^{5}-x^{3}+3x-1}{x^{2}-1}

Para ello hay que recordar lo siguiente:

\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}

Entonces:

\small
\frac{x^{29}\left ( x^{2}-1 \right )+x^{3}\left (x^{2}-1  \right )+3x-1}{x^{2}-1}
\small
\frac{x^{29}\left ( \cancel{x^{2}-1} \right )}{\left ( \cancel{x^{2}-1} \right )}+\frac{x^{3}\cancel{\left ( x^{2}-1 \right )}}{\cancel{x^{2}-1}}+\frac{3x-1}{x^{2}-1}
=x^{29}+x^{3}+\frac{3x-1}{x^{2}-1}
\therefore q_{\left ( x \right )}=x^{29}+x^{3}

Respuesta: Clave C

Ejercicio 4

¿Cuál es el resto en la siguiente división?

\frac{x^{31}+x^{29}-x^{5}-x^{3}-2x+1}{x^{2}+1}

a) 2x-1
b) 1-2x
c) 3-2x
d) 4-2x
e) -2x

Solución:

Nos piden encontrar el resto en:

\frac{x^{31}+x^{29}-x^{5}-x^{3}-2x+1}{x^{2}+1}

Usamos el mismo procedimiento del ejercicio anterior.

\small
\frac{x^{29}\left ( x^{2}+1 \right )-x^{3}\left ( x^{2}+1 \right )-2x-1}{x^{2}+1}
=\frac{x^{29}\cancel{\left ( x^{2}+1 \right )}}{\cancel{\left ( x^{2}+1 \right )}}+\frac{x^{3}\cancel{\left (x^{2}+1  \right )}}{\cancel{\left ( x^{2}+1 \right )}}+\\\frac{-2x+1}{x^{2}+1}
=x^{29}-x^{3}+\frac{-2x+1}{x^{2}+1}
\therefore R_{\left ( x \right )}=-2x+1

Respuesta: Clave B

Ejercicio 5

¿Cuál es el resto en la siguiente división?

\frac{x^{3}-3x^{2}+3x-2}{x^{2}-x+1}

a) 0
b) x+1
c) x-1
d) x+2
e) x-2

Solución:

Nos piden el resto en:

\frac{x^{3}-3x^{2}+3x-2}{x^{2}-x+1}

Separamos:

\frac{x^{3}-x^{2}+x-2x^{2}+2x-2}{x^{2}-x+1}
=\frac{x\left ( x^{2}-x+1 \right )-2\left ( x^{2}-x+1 \right )}{x^{2}-x+1}

Luego, como x-2, es una división exacta.

\therefore R_{\left ( x \right )}=0

Respuesta: Clave A

Ejercicio 6

Si la división indicada:

\frac{a^{2}x^{4}+5ax^{3}-14x^{2}+a^{3}x-9}{ax^{2}-2x-3}

es exacta. ¿Cuál es el valor real de a?

a) 7
b) -3
c) -6
d) 2
e) -5

Solución:

Realizamos la división exacta:

\frac{a^{2}x^{4}+5ax^{3}-14x^{2}+a^{3}x-9}{ax^{2}-2x-3}

Aplicando: El método de División algebraica de polinomios horner

horner

De:

a^{3}=-27\rightarrow a=-3

Respuesta: Clave B

Ejercicio 7

Si la división

\frac{2x^{4}+x^{3}+4x^{2}+n}{x+1}

deja como resto 5. ¿Cuál es el valor de n?

a) 5
b) -5
c) 1
d) 7
e) 0

Solución:

En la división:

\frac{2x^{4}+x^{3}+4x^{2}+n}{x+1}

R=5

Aplicamos: División algebraica de polinomios – teorema del resto

x+1=0\rightarrow x=-1
\small
\begin{align*}
R&=2\left ( -1 \right )^{4}+\left ( -1 \right )^{3}+4\left ( -1 \right )^{2}+n\\
R&=2-1+4+n=5
\end{align*}
\therefore n=0

Respuesta: Clave E

Ejercicio 8

¿Cuál es el resto en

\frac{12x^{4}+x^{3}-24-12x}{4x^{2}-x-5}?

a) -3x+4
b) 3x+4
c) -3x+2
d) -3x-4
e) 3x-4

Solución:

Nos piden el resto en:

\frac{12x^{4}+x^{3}-24-12x}{4x^{2}-x-5}

Aplicamos: División algebraica de polinomios – Horner

división de polinomios horner
\therefore R_{\left ( x \right )}=-3x-4

Respuesta: Clave D

Ejercicio 9

Luego de dividir

\frac{mx^{4}+nx^{3}+14x^{2}+5x+10}{2x^{2}+x+3}

se obtuvo como residuo 4. ¿Cuál es el valor de m.n?

a) 6
b) 10
c) 20
d) 30
e) 15

Solución:

En:

\frac{mx^{4}+nx^{3}+14x^{2}+5x+10}{2x^{2}+x+3}

R=4

Se cumple también que:

\begin{align*}
D_{\left ( x \right )}&\equiv d_{\left ( x \right )}q_{\left ( x \right )}+R_{\left ( x \right )}\\
\rightarrow D_{\left ( x \right )}-R_{\left ( x \right )}&=d_{\left ( x \right )}q_{\left ( x \right )}
\end{align*}

Al ser una división algebraica de polinomios inexacta, se pueden ordenar los polinomios ascendentemente.

\frac{mx^{4}+nx^{3}+14x^{2}+5x+10}{2x^{2}+x+3}

Por el método de horner

division algebraica de polinomios ejercicio 9 metodo de horner

Del resto nulo

n=5;\ m=6\rightarrow m\cdot n=30

Respuesta: Clave D

Ejercicio 10

Calcule la suma de los coeficientes del cociente de:

\frac{nx^{4}-x^{3}+3nx-3}{nx-1}

a) 2
b) 3
c) 4
d) -1
e) 7

Solución:

En la división:

\frac{nx^{4}-x^{3}+3nx-3}{nx-1}

se puede separar

\frac{x^{3}\left ( nx-1 \right )+3\left ( nx-1 \right )}{nx-1}
=\frac{x^{3}\cancel{\left ( nx-1 \right )}}{\cancel{nx-1}}+\frac{3\cancel{\left ( nx-1 \right )}}{\cancel{nx-1}}
=x^{3}+3

Luego, el cociente

q_{\left ( x \right )}=x^{3}+3

Por lo tanto, la suma de coeficientes es

q = 1 + 3 = 4

Respuesta: Clave C

Ejercicio 11

Halle el resto en

\frac{\left ( x^{2}-2x+1 \right )\left ( x^{2}+x-6 \right )}{x^{3}-3x^{2}+3x-1}
\begin{align*}
a)&\ -4\left ( x-1 \right )^{2}\\
b)&\ 3-3x\\
c)&\ 4x-4\\
d)&\ 4x-1\\
e)&\ 4\left ( x-1 \right )^{2}
\end{align*}

Solución:

Nos piden el resto en

\frac{\left ( x^{2}-2x+1 \right )\left ( x^{2}+x-6 \right )}{x^{3}-3x^{2}+3x-1}

Entonces

\frac{\cancel{\left ( x-1 \right )^{2}}\left ( x^{2}+x-6 \right )}{\cancel{\left ( x-1 \right )^{3}}}
=\frac{x^{2}+x-6}{x-1}

Pero el residuo queda dividido por (x-1)2.

Luego, por el teorema del resto

\begin{align*}
\cdot \ &x-1=0\rightarrow x=1\\
\cdot \ &R_{1}=1^{2}+1-6=-4\\
\therefore \ &R_{\left ( x \right )}=-4\left ( x-1 \right )^{2}
\end{align*}

Respuesta: Clave A

Ejercicio 12

Halle el resto en:

\frac{x^{35}+\left ( x-1 \right )^{34}+x}{x\left ( x-1 \right )}

a) 2x
b) x
c) x-1
d) x+1
e) 2x+1

Solución:

El resto en:

\frac{x^{35}+\left ( x-1 \right )^{34}+x}{x\left ( x-1 \right )}

tendrá la forma:

R_{\left ( x \right )}=Ax+B

Usando la identidad fundamental

D_{\left ( x \right )}\equiv d_{\left ( x \right )}q_{\left ( x \right )}+R_{\left ( x \right )}
x^{35}+\left ( x-1 \right )^{34}+x\equiv \\x\left ( x-1 \right )q_{\left ( x \right )}+Ax+B
x=0\rightarrow \left ( -1 \right )^{34}=B\rightarrow B=1
\small
x=1\rightarrow 1+0+1=0+A+B\\
\rightarrow A=1
\therefore R_{\left ( x \right )}=x+1

Respuesta: Clave D

División algebraica de polinomios ejercicios resueltos

En esta sección seguiremos resolviendo problemas del tema: División algebraica de polinomios.

Esta vez los vamos a clasificar por el nivel de complejidad, y haremos dos niveles:

  • Nivel I – Para estudiantes de Secundaria
  • Nivel II – Para estudiantes que ya se vienen preparando para el ingreso a la universidad.

División algebraica de polinomios – Nivel I

Problema 1

En la siguiente división

\frac{ax^{5}+bx^{2}-3x+5}{x^{3}-2x+1}

el resto es x2. ¿Cuál es el valor de a + b?

a) 1
b) 0
c) -1
d) 2
e) -2

Solución:

Reconocemos los elementos de la división:

  • Dividendo
D_{\left ( x \right )}=ax^{5}+bx^{2}-3x+5
  • Divisor
d_{\left ( x \right )}=x^{3}-2x+1
  • Cociente: q(x)= ?
  • Residuo: R(x) = x2

Aplicamos la identidad fundamental de la división

D_{\left ( x \right )}\equiv d_{\left ( x \right )}q_{\left ( x \right )}+R_{\left ( x \right )}

Es decir:

ax^{5}+bx^{2}-3x+5\equiv \\
\left ( x^{3}-2x+1 \right )q_{\left ( x \right )}+x^{2}

Evaluamos para x=1

\small
a+b-3+5=\left ( 1-2+1 \right )\cdot q_{\left ( 1 \right )}+1

Entonces:

a+b+2=\cancel{0\cdot q_{\left ( 1 \right )}}+1
\therefore a+b=-1

Respuesta: Clave C

Problema 2

Halle el cociente de la división

\frac{x^{4}+x^{3}+5x^{2}-10x+10}{x^{2}+2x+1}

a) x2-x+4
b) x2-x+5
c) x2-x+7
d) x2-x+3
e) x2-x+6

Solución:

Hallamos el cociente por el método de horner

division algebraica de polinomios metodo de horner

Luego:

q_{\left ( x \right )}=x^{2}-x+6

Además:

R_{\left ( x \right )}=-21x+4

Respuesta: Clave E

Problema 3

Del esquema de Horner adjunto de una división en variable x.

horner 1

Calcule el valor de m+n

a) 4
b) 3
c) 1
d) -7
e) -10

Solución:

Del esquema:

\begin{align*}
\triangleright \ &\frac{3}{1}=a\rightarrow a=3\\
\triangleright \ &-2a=b\rightarrow b=-6\\
\triangleright \ &5+b=c\rightarrow c=-1\\
\triangleright \ &-2c=d\rightarrow d=2\\
\triangleright \ &a+d=e\rightarrow e=5\\
\triangleright \ &-2e=m\rightarrow m=-10\\
\triangleright \ &13+m=n\rightarrow n=3
\end{align*}
\therefore m+n=-7

Respuesta: Clave D

Problema 4

Halla el cociente y el resto que se obtiene luego de efectuar la división:

\frac{\left ( x-1 \right )^{3}+x-1}{x-2}

a) x2-3x+4; 4
b) x2-x+2; 2
c) x2+x+2; 4
d) x2+3x+2; 2
e) x2-3x-2; 4

Solución:

Aplicamos productos notables y desarrollamos el cubo; reducimos términos semejantes para obtener la siguiente división:

\frac{x^{3}-3x^{2}+4x-2}{x-2}

Aplicamos el método de Ruffini para hallar el cociente y el resto

division algebraica de polinomios problema 6 nivel 1

Luego:

q_{\left ( x \right )}=x^{2}-x+2
R_{\left ( x \right )}=2

Respuesta: Clave B

Problema 5

¿Cuál es el resto de la división?

\frac{6x^{4}-5x^{3}-3+x^{2}}{3x-1}

a) 3
b) 0
c) -3
d) -2
e) -1

Solución:

Aplicamos el teorema del resto:

d_{\left ( x \right )}=3x-1=0\rightarrow x=\frac{1}{3}
R_{\left ( x \right )}=D_{\left ( \frac{1}{3} \right )}=6\left ( \frac{1}{3} \right )^{4}-5\left ( \frac{1}{3} \right )^{3}\\
-3+\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}
R_{\left ( x \right )}=\overset{2}{\cancel 6}\cdot \frac{1}{\underset{27}{\cancel 81}}-\frac{5}{27}-3+\frac{1}{9}
R_{\left ( x \right )}=\frac{2}{27}-\frac{5}{27}-3+\frac{1}{9}
R_{\left ( x \right )}=-\cancel{\frac{3}{27}}+\cancel{\frac{1}{9}}-3
\therefore R_{\left ( x \right )}=-3

Respuesta: Clave C

Problema 6

Calcule la suma de coeficientes del cociente al dividir:

\frac{x^{5}-x+1}{x-1}

a) 5
b) 4
c) 3
d) 6
e) 0

Solución:

Aplicamos el método de Ruffini

problema 6 division algebraica de polinomios

y obtenemos:

q_{\left ( x \right )}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x\ \text{y}\ R_{\left ( x \right )}=1

Por lo tanto, la suma de coeficientes de q(x) es q(1) = 4.

Respuesta: Clave B

Problema 7

¿Cuántos términos no nulos tiene el cociente de la división?

\frac{5x^{6}-5x^{4}+3x+1}{x+1}

a) 2
b) 5
c) 7
d) 8
e) 3

Solución:

Aplicamos: División de polinomios Ruffini.

problema 7 metodo de ruffini division de polinomios

y obtenemos:

q_{\left ( x \right )}=5x^{5}-5x^{4}+3

y R(x)=-2

Por lo tanto, q(x) tiene 3 términos no nulos.

Respuesta: Clave E

Problema 8

Indique el resto de la división algebraica.

\small
\frac{\left ( \sqrt{2}+1 \right )x^{4}-\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{2}x+\sqrt{2}+1}{x+1-\sqrt{2}}
\begin{align*}
&a)\ 2\\
&b)\ 4\\
&c)\ \sqrt{2}\\
&d)\ 2\sqrt{2}\\
&e)\ \sqrt{2}+1
\end{align*}

Solución:

Aplicamos el método de Ruffini

problema 8 division algebraica de polinomios

y obtenemos:

q_{\left ( x \right )}=\left ( \sqrt{2}+1 \right )x^{3}+x^{2}-x+1
R_{\left ( x \right )}=2\sqrt{2}

Respuesta: Clave D

Problema 9

Halle el resto en la división

\frac{x^{5}+nx+2}{x-1}

si se sabe que la suma de coeficientes del cociente es 10.

a) 8
b) 10
c) 4
d) 0
e) 15

Solución:

Aplicamos el método de Ruffini

problema 9 division algebraica de polinomios

y obtenemos:

q_{\left ( x \right )}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+n-1
R_{\left ( x \right )}=n+3

Además, como q(1)=10

Entonces:

1 + 1 + 1 + 1 + n + 1=10

n + 5 = 10; luego n = 5

R(x)= n + 3

\therefore R_{\left ( x \right )}=8

Respuesta: Clave A

Problema 10

Halle el cociente que se obtiene luego de dividir:

\frac{16x^{4}-9x^{2}-2x}{x-\frac{1}{4}}

a) 4x3+x2-2x-1
b) 16x2+4x-8
c) 16x3+4x2-8x-4
d) 16x3+4x-8
e) 64x3+16x2-32x-16

Solución:

Aplicamos: División algebraica de polinomios – Método de Ruffini.

problema 10 division algebraica de polinomios metodo de reuffini

y obtenemos:

q_{\left ( x \right )}=16x^{3}+4x^{2}-8x-4

y R(x)=-1

Respuesta: Clave C

División algebraica de Polinomios

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División algebraica de polinomios – Nivel II

En esta sección vamos a meterle caña con problemas de mayor nivel, revisa esto si ya estás próximo a dar tu examen de ingreso a la universidad.

Problema 11

Al efectuar la división algebraica

\frac{\left ( x^{2}+1 \right )^{5}+\left ( x-1 \right )^{3}+3x}{x^{3}-x^{2}+x-1}

se obtuvo un resto R(x). Calcule el valor de R(-1) / R(1).

a) 5/7
b) 7/5
c) 8/7
d) 7/8
e) 1/7

Solución:

Podeos escribir la división así:

\frac{\left ( x^{2}+1 \right )^{5}+x^{3}-3x^{2}+6x-1}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x-1 \right )}

Como el grado del divisor es 3, entonces:

R_{\left ( x \right )}=Ax^{2}+Bx+C

Luego, por la identidad fundamental de la división algebraica de polinomios:

\left ( x^{2}+1 \right )^{5}+x^{3}-3x^{2}+6x-1\equiv \\
\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x-1 \right )\cdot q_{\left ( x \right )}+Ax^{2}+Bx\\+C

Evaluando convenientemente:

Para x=1, tenemos:

2^{5}+\cancel 1 -3+6\cancel{-1}=\cancel{\left ( 2 \right )\cdot 0\cdot q_{\left ( 1 \right )}}\\+A+B+C
\rightarrow A+B+C=35

Como: R(1) = A + B + C

\rightarrow R_{\left ( 1 \right )}=35

Para x2=-1; tenemos:

\small
0+\left ( -1 \right )x-3\left ( -1 \right )+6x-1=\\\cancel{0\cdot \left ( x-1 \right )q_{\left ( x \right )}}+A\left ( -1 \right )^{2}+Bx+C
\small
\rightarrow -x+3+6x-1=-A+Bx+C
5x+2=Bx+C-A
B=5\wedge C-A=2

Como: A + B + C = 35; entonces: A-B+C=25

Luego:

R_{\left ( -1 \right )}=A-B+C=25
\therefore \frac{R_{\left ( -1 \right )}}{R_{\left ( 1 \right )}}=\frac{25}{35}=\frac{5}{7}

Respuesta: Clave A

Problema 12

Al dividir un polinomio P(x) entre el producto de (x+1)(x+3)(x-2), el resto obtenido es x2-5x+1. Calcule el resto de P(x) entre x2-x-2.

a) x+5
b) -2x+3
c) -4x+3
d) 2x-1
e) -4x

Solución:

Como la división:

\frac{P_{\left ( x \right )}}{\left ( x+1 \right )\left ( x+3 \right )\left ( x-2 \right )}

deja resto x2-5x+1, por la identidad fundamental de la división:

P_{\left ( x \right )}=\left ( x+1 \right )\left ( x+3 \right )\left ( x-2 \right )q_{\left ( x \right )}\\+x^{2}-5x+1

Para haller el residuo de

\frac{P_{\left ( x \right )}}{x^{2}-x-2}

aplicamos el teorema del resto generalizado

\small
d_{\left ( x \right )}=x^{2}-x-2=0\rightarrow x^{2}=x+2

Como:

P_{\left ( x \right )}=\left ( x+3 \right )\left ( x^{2}-x-2 \right )q_{\left ( x \right )}\\+x^{2}-5x+1

Entonces:

R_{\left ( x \right )}=\cancel{\left ( x+3 \right )\left ( 0 \right )\cdot q_{\left ( x \right )}}+\left ( x+2 \right )\\-5x+1
\rightarrow R_{\left ( x \right )}=x+2-5x+1
\therefore R_{\left ( x \right )}=-4x+3

Respuesta: Clave C

Problema 13

En la siguiente división algebraica de polinomios

\frac{3x^{12}-5x^{10}+3x^{3}+3x^{2}-5x-5}{ax^{2}-b}

a es menor que 4, determine el valor entero y positivo de a y b para que dicha división sea exacta.

a) a=1; b=5
b) a=3; b=5
c) a=3; b=3
d) a=3; b=6
e) a=2; b=6

Solución:

Aplicamos el teorema del resto generalizado

d_{\left ( x \right )}=ax^{2}-b=0
\rightarrow x^{2}=\frac{b}{a}

Como:

D_{\left ( x \right )}=3\left ( x^{2} \right )^{6}-5\left ( x^{2} \right )^{5}+3x^{2}\cdot x\\+3x^{2}-5x-5
\rightarrow R_{\left ( x \right )}=3\left ( \frac{b}{a} \right )^{6}-5\left ( \frac{b}{a} \right )^{5}+\\+3\frac{b}{a}x+3\frac{b}{a}-5x-5

Por ser división exacta R(x)=0, entonces deben cancelarse todos los términos, en particular los términos «lineales».

\frac{3b}{a}x-5x=0\rightarrow \frac{3b}{a}x=5x
\frac{3b}{a}=5\rightarrow 3b=5a

Se sabe que a y b son enteros positivos y que a<4, entonces a=3 y b=5.

Reemplazamos en:

\small
R_{\left ( x \right )}=3\left ( \frac{5}{3} \right )^{6}-5\left ( \frac{5}{3} \right )^{5}+3\frac{5}{3}x+\\+3\frac{5}{3}-5x-5
\rightarrow R_{\left ( x \right )}=\cancel{\frac{5^{6}}{3^{5}}}-\cancel{\frac{5^{6}}{3^{5}}}+\cancel{5x}+\cancel 5 -\\ -\cancel{5x}-\cancel 5
\therefore R_{\left ( x \right )}=0

Respuesta: Clave B

Problema 14

Al efectuar la división algebraica de polinomios:

\frac{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+x+3}{3x^{2}-x+1}

se obtuvo como residuo 2x+1. Determine la relación correcta si el producto de los coeficientes del cociente es 8.

a) c-a=9
b) |b|=2
c) |a|-|b|=13
d) |b-c|>9
e) ab>0

Solución:

La división algebraica de polinomios

\frac{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+x+3}{3x^{2}-x+1}

deja como resto 2x+1, así que por la identidad fundamental de la división

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+x+3\equiv\\ \equiv\left ( 3x^{2}-x+1 \right )\cdot q_{\left ( x \right )}+2x+1
\rightarrow ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-x+2\equiv \\
\equiv\left ( 3x^{2}-x+1 \right )\cdot q_{\left ( x \right )}+0

Entonces:

\frac{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-x+2}{3x^{2}-x+1}

es una división exacta que admite el mismo cociente q(x). Luego podemos efectuar la división por el método de Horner ordenando los polinomios dividendo y divisor en forma ascendente:

division algebraica de polinomios prob 15

De las condiciones del problema.

\begin{align*}2\cdot 1\cdot \left ( c-5 \right )=8\\
c-5=4\\
\rightarrow c=9
\end{align*}

También:

\begin{align*}
b+c-8&=0\\
b&=8-c\\
\rightarrow b&=-1
\end{align*}

y por último

\begin{align*}
a+15-3c&=0\\
a&=3c-15\\
\rightarrow a&=12
\end{align*}
\therefore \left | b-c \right |=\left | -10 \right |=10>9

Respuesta: Clave D

Problema 15

Halle el resto de la división algebraica

\tiny
\frac{\left ( x+1 \right )^{35}+7\left ( x+1 \right )^{28}+3\left ( x+1 \right )^{17}+3}{x^{2}+2x+2}

a) 2x
b) 2x-12
c) 2x+5
d) 2x+12
e) 2x+7

Solución:

Aplicamos el teorema del resto generalizado.

d_{\left ( x \right )}=x^{2}+2x+2=0
x^{2}+2x+1=-1\\
\rightarrow \left ( x+1 \right )^{2}=-1

Como:

D_{\left ( x \right )}=\left [ \left ( x+1 \right )^{2} \right ]^{17}\cdot \left ( x+1 \right )+7\cdot\\
\cdot\left [ \left ( x+1 \right )^{2} \right ]^{14}+3\left [ \left ( x+1 \right )^{2} \right ]^{8}\cdot \\
\cdot\left ( x+1 \right )+3
R_{\left ( x \right )}=\left ( -1 \right )^{17}\cdot \left ( x+1 \right )+7\left ( -1 \right )^{14}\\
+3\left ( -1 \right )^{8}\cdot \left ( x+1 \right )+3
\begin{align*}
R_{\left ( x \right )}&=-\left ( x+1 \right )+7\left ( 1 \right )+3\cdot\\
&\cdot\left ( 1 \right )\left ( x+1 \right )+3\\
R_{\left ( x \right )}&=-x-1+7+3x+3+3\\
\therefore R_{\left ( x \right )}&=2x+12
\end{align*}

Respuesta: Clave D

División algebraica de polinomios ejercicios resueltos PDF

En esta sección te dejare un par de separatas con ejercicios propuestos, la solución la tendrás que realizar tú. Todas estas tienen clave de respuestas que te permitirá saber si el desarrollo se hizo correctamente.

Comentarios finales

Espero haberte podido ayudar con la solución de todos estos problemas presentados, recuerda que si quieres que desarrolle algún tema específico solo debes dejarme un comentario que gustoso lo trabajaré.

Como habrás podido darte cuenta, es muy importante tener conocimientos previos de polinomios. Así que dale una revisada si es que te costo un poco entender los problemas de este artículo.

Nos vemos en otra oportunidad. Bye!

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