Leyes de exponentes ejercicios resueltos

En este artículo vamos a desarrollar el tema: Leyes de Exponentes ejercicios resueltos; forma parte fundamental dentro del álgebra y que todo estudiante debe conocer, para que tenga una sólida formación en la materia.

Adicionalmente; al final de este artículo encontrarás una serie de ejercicios propuestos que podrás descargarte y que te ayudarán a que puedas practicar todo lo aprendido.

Sin más estimado lector, vamos a meterle mucha caña.

Leyes de Exponentes Ejercicios

A continuación verás la solución de 12 ejercicios, todos enfocados al tema que venimos desarrollando, sigue la secuencia establecida e identifica las leyes de los exponentes que se aplican.

Ejercicio 1

¿Cuál es el equivalente reducido de:

\frac {15^2 \cdot 81^3}{9 \cdot 27^4}

Solución:

Llevamos la fracción a base común y simplificamos

\frac {15^2 \cdot 81^3}{9 \cdot 27^4} = \frac {3^2 \cdot 5^2 \cdot (3^4)^3}{3^2 \cdot (3^3)^4}

Luego:

5^2=25

Ejercicio 2

Indique el equivalente reducido de:

\frac{\overset{10 factores}{\overbrace{5\cdot 5\cdots 5}}}{\underset{5^{7}sumandos}{\underbrace{5+5+\cdots +5}}}

Solución

Simplificamos y se tiene:

\frac{5^{10}}{5\cdot 5^7}=\frac{5^{10}}{5^{8}}=5^{2}=25

Ejercicio 3

Calcule la suma de las cifras del resultado de efectuar:

36^{4}\cdot \left ( \frac{1}{12} \right )^{4}-33^{2}\cdot \left (\frac{1}{11} \right )^{2}

Solución

Simplificamos y obtenemos:

\frac{3^{4}\cdot \cancel{12^{4}}}{\cancel{12^{4}}}-3^{2}\cdot \cancel{11^{2}}\cdot \frac{1}{\cancel{11^{2}}} 
81-9=72

Por lo tanto la suma de las cifras es 7+2 = 9

Ejercicio 4

¿Cuál es el valor de «m» en:

\frac{2^{m+3}\cdot 8}{2^{6}}=16

Solución

Llevamos la fracción a bases iguales

\frac{2^{m+3}\cdot 8}{2^{6}}=16\rightarrow \frac{2^{m+3}\cdot 2^{3}}{2^{6}}=2^{4}
2^{m+\cancel{3}+\cancel{3}-\cancel{6}}=2^{4}\rightarrow 2^{m}=2^{4}
\therefore m=4

Ejercicio 5

Si:

S=\left ( 3^{-2} \right )^{-1}+4^{1^{-2}}-50^{30^{0}}

¿Cuál es el valor de S/13?

Solución

Utilizamos las leyes de los exponentes

S=\left ( 3^{-2} \right )^{-1}+4^{1^{-2}}-50^{30^{0}}
S=3^{2\cdot 1}+4^{1}-5^{1}
=9+4-5=8
\rightarrow S=8

Reemplazamos

\therefore \frac{S}{13}=\frac{8}{13}
leyes de exponentes ejercicios

Ejercicio 6

Reduzca la expresión:

25^{\frac{1}{2}}+\left ( \frac{1}{4} \right )^{-\frac{1}{2}}-\left ( \frac{1}{16} \right )^{-\frac{1}{4}}

Solución

Usamos las leyes de los exponentes

25^{\frac{1}{2}}+\left ( \frac{1}{4} \right )^{-\frac{1}{2}}-\left ( \frac{1}{16} \right )^{-\frac{1}{4}}
=\sqrt{25}+4^{\frac{1}{2}}-16^{\frac{1}{4}}
=5+\cancel{\sqrt{4}}-\cancel{\sqrt[4]{16}}=5

Ejercicio 7

¿Cuál es el valor de «x» que verifica la siguiente igualdad?

2^{\frac{x^{2}+1}{72}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}\cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}

Solución

Usamos las propiedades de la radicación

2^{\frac{x^{2}+1}{72}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}\cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}
2^{\frac{x^{2}+1}{72}}=\sqrt[8]{2}\cdot \sqrt[9]{2}=2^{\frac{1}{8}+\frac{1}{9}}
\rightarrow 2^{\frac{x^{2}+1}{72}}=2^{\frac{17}{72}}
\therefore \frac{x^{2}+1}{72}=\frac{17}{72}\rightarrow x^{2}=16
\rightarrow \mathbf{x=4\vee x=-4}

Ejercicio 8

Halla el valor simplificado de:

\tiny \sqrt[3]{\left [ \left ( \frac{1}{5} \right )^{2}+\left ( \frac{5}{2} \right )^{-2} \right ]^{-1}+\left [ 3-\left ( \frac{3}{8} \right )^{-1} \right ]^{-1}}

Solución

Simplificamos:

\tiny \sqrt[3]{\left [ \left ( \frac{1}{5} \right )^{2}+\left ( \frac{5}{2} \right )^{-2} \right ]^{-1}+\left [ 3-\left ( \frac{3}{8} \right )^{-1} \right ]^{-1}}
=\sqrt[3]{\left ( \frac{1}{25}+\frac{4}{25} \right )^{-1}+\left ( 3-\frac{8}{3} \right)^{-1}}
=\sqrt[3]{\left ( \frac{\cancel{5}}{\cancel{25}} \right )^{-1}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{-1}}
=\sqrt[3]{5+3}=\sqrt[3]{8}=\textbf{2}

Ejercicio 9

La siguiente expresión es equivalente a:

\frac{\sqrt{27\sqrt[4]{9\sqrt[3]{81}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[10]{3^{-5}}}}}

Solución

Simplificamos

\frac{\sqrt{27\sqrt[4]{9\cdot \sqrt[3]{81}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[\overset{2}{\cancel{10}}]{3^{-5}}}}}

Recordamos que:

{\color{Red} \sqrt[n]{x^{a}\cdot \sqrt[m]{x^{b}}}=\sqrt[n\cdot m]{x^{am+b}}}

Entonces tenemos:

=\frac{\sqrt{3^{3}\cdot \sqrt[4]{3^{2}\cdot \sqrt[3]{3^{4}}}}}{\sqrt[12]{3^{-1}}}=\small \frac{\sqrt[24]{3^{(3\cdot 4+2)\cdot 3+4}}}{\sqrt[12]{3^{-1}}}
=\frac{\sqrt[24]{3^{46}}}{\sqrt[24]{3^{-2}}}=\sqrt[\cancel{24}]{3^{\cancel{48}}}=3^{2}=\textbf{9}

Ejercicio 10

Si se cumple que:

2^{3^{x}}=8^{2y}

Entonces. ¿Cuál es el valor de:

\sqrt[x-1]{2y}?

Solución

De la ecuación exponencial:

2^{3^{x}}=8^{2y}
\rightarrow 2^{3^{x}}=2^{3\cdot 2y}

Por condición de las ecuaciones trascendentes: a bases iguales los exponentes también son iguales:

3^{x}=3^{1}\cdot 2y\rightarrow 3^{x-1}=2y

Lo pedido, entonces será:

\textbf{3}=\sqrt[\textbf{x-1}]{\textbf{2y}}

Ejercicio 11

¿Qué valor de x cumple la igualdad?

(0,2)^{4^{-7^{-x}}}=\left ( \frac{1}{5} \right )^{(0,25)^{\left ( \frac{1}{7} \right )^{2}}}

Solución

De la igualdad

(0,2)^{4^{-7^{-x}}}=\left ( \frac{1}{5} \right )^{(0,25)^{\left ( \frac{1}{7} \right )^{2}}}

Recordar que:

{\color{Red} 0,2=\frac{1}{5}}\sim {\color{Red} \frac{1}{4}=0,25}

Finalmente tenemos:

\left ( \frac{1}{4} \right )^{7^{-x}}=(0,25)^{7^{-2}}\rightarrow \textbf{x=2}

Ejercicio 12

Si:

A=12^{4}\cdot 3^{6}\cdot 6^{7}\cdot 4^{6}\cdot 2^{7}
B=\frac{15^{6}}{5^{4}\cdot 3^{5}}

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

\frac{A^{\frac{1}{17}}}{B}

Solución

Reduciendo primero A, tenemos:

A=12^{4}\cdot 3^{6}\cdot 6^{7}\cdot 4^{6}\cdot 2^{7}
=\left ( 2^{3}\cdot 3 \right )^{4}\cdot 3^{6}\cdot \left ( 2\cdot 3 \right )^{7}\cdot \left ( 2^{2} \right )^{6}\cdot 2^{7}
=2^{8}\cdot 3^{4}\cdot 3^{6}\cdot 2^{7}\cdot 3^{7}\cdot 2^{12}\cdot 2^{7}
=2^{8+7+12+7}\cdot 3^{4+6+7}
=2^{34}\cdot 3^{17}=\left ( 2^{2}\cdot 3  \right)^{17}=12^{17}
\rightarrow A^{1/17}=\textbf{12}

Ahora trabajamos en la reducción de B

B=\frac{15^{6}}{5^{4}\cdot 3^{5}}=\frac{5^{6}\cdot 3^{6}}{5^{4}\cdot 3^{5}}
B=5^{2}\cdot 3

Luego, lo pedido será:

\frac{A^{\frac{1}{17}}}{B}=\frac{\overset{4}{\cancel{12}}}{5^{2}\cdot \cancel{3}}=\mathbf{\frac{4}{25}}

Teoría

Si necesitas repasar la teoría de las leyes de los exponentes, aquí te comparto un enlace a un artículo que lo desarrolla de manera clara y sencilla.

Leyes de Exponentes ejercicios resueltos por Niveles

En esta sección, vamos a seguir resolviendo ejercicios sobre leyes de exponentes, pero vamos a clasificarlos de la siguiente manera:

  • Ejercicios enfocados al nivel secundaria
  • Ejercicios enfocados a exponentes y radicales
  • Ejercicios enfocados al nivel preuniversitario

Leyes de exponentes ejercicios para secundaria

Problema 1

Reduzca la siguiente expresión:

\frac{2^{n+4}}{2^{n+3}}+\frac{5^{n+3}}{5^{n+1}}-\frac{3^{2-x}}{3^{1-x}}

Solución:

Sea:

\frac{2^{n+4}}{2^{n+3}}+\frac{5^{n+3}}{5^{n+1}}-\frac{3^{2-x}}{3^{1-x}}

Simplificamos y tenemos que:

M=\frac{\cancel{2^{n}}\cdot 2^{4}}{\cancel{2^{n}}\cdot 2^{3}}+\frac{\cancel{5^{n}}\cdot 5^{3}}{\cancel{5^{n}}\cdot 5^{1}}-\frac{3^{2}\cdot \cancel{3^{-x}}}{3^{1}\cdot \cancel{3^{-x}}}
M=2^{4-3}+5^{3-1}-3^{2-1}

Entonces:

M=2+5^{2}-3
\therefore \mathbf{M=24}

Problema 2

Indique cuál es el equivalente reducido de:

\frac{\overset{3^{2}veces}{\overbrace{3^{4}+3^{4}+3^{4}+\cdots +3^{4}}}}{\underset{3^{2}veces}{\underbrace{3+3+3+\cdots +3}}}

Solución:

No olvides que:

\mathbf{{\color{Red} \underset{n-veces}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}=na}}

Entonces:

\frac{\overset{3^{2}veces}{\overbrace{3^{4}+3^{4}+3^{4}+\cdots +3^{4}}}}{\underset{3^{2}veces}{\underbrace{3+3+3+\cdots +3}}}

Como:

\overset{3^{2}veces}{\overbrace{3^{4}+3^{4}+3^{4}+\cdots +3^{4}}}=3^{4}\times 3^{2}

y también:

\underset{3^{2}veces}{\underbrace{3+3+3+\cdots +3}}=3\times 3^{2}

Nos quedaría:

S=\frac{3^{4}\times \cancel{3^{2}}}{3\times \cancel{3^{2}}}\Rightarrow S=\frac{3^{4}}{3}
\therefore S=3^{3}=\mathbf{27}

Problema 3

Indique cuál es el valor de M

M=\frac{\left ( \left ( \left ( 2^{-3} \right )^{8} \right )^{5} \right )^{-2}}{\left ( \left ( \left ( 2^{6} \right )^{-10} \right )^{-1} \right )^{4}}

Solución:

Aplicando por leyes de exponentes: Potencia de potencias

La expresión equivalente quedaría:

M=\frac{2^{(-3)(8)(5)(-2)}}{2^{6(-10)(-1)(4)}}
M=\frac{2^{(-24)(-10)}}{2^{(-60)(-4)}}=\frac{2^{240}}{2^{240}}
\mathbf{M=1}

Problema 4

Si:

2^{x}=3

Calcule el valor de M

M=\frac{2^{x+3}+4^{x+1}}{8^{x+3}}

Solución:

Sea:

M=\frac{2^{x+3}+4^{x+1}}{8^{x+3}}
M=\frac{2^{x}\cdot 2^{3}+4^{x}\cdot 4}{\left ( 2^{3} \right )^{x}+3}
\rightarrow M=\frac{2^{x}\cdot 8+\left ( 2^{x} \right )^{2}\cdot 4}{\left ( 2^{x} \right )^{3}+3}

Como:

2^{x}=3

Entonces, reemplazando:

M=\frac{3\cdot 8+3^{2}\cdot 4}{3^{3}+3}
M=\frac{24+36}{27+3}=\frac{60}{30}
\therefore \mathbf{M=2}

Problema 5

Si el exponente final de x luego de reducir

\sqrt[a+1]{x^{-1}\cdot \sqrt[a]{x\cdot \sqrt[a+1]{x}}}

es:

-\left ( \frac{2}{9} \right )\cdot a^{-1}

Indique cuál es el valor de a.

Solución:

Para este problema, debemos recordar la regla practica de «por más»

{\color{Red} \sqrt[m]{x^{a}\cdot \sqrt[n]{x^{b}}}=\sqrt[m\cdot n]{x^{an+b}}}

Entonces, reducimos la expresión usando la regla de «por más»

\sqrt[a+1]{x^{-1}\cdot \sqrt[a]{x\cdot \sqrt[a+1]{x}}}
=\sqrt[(a+1)^{2}\cdot a]{x^{(-a+1)(a+1)+1}};a\in \mathbb{Z}^{+}
=\sqrt[(a+1)^{2}\cdot a]{x^{1-a^{2}+1}};a\in \mathbb{Z}^{+}
=x^{\frac{2-a^{2}}{(a+1)^{2}\cdot a}};a\in \mathbb{Z}^{+}

Como el exponente final de x es:

-\left ( \frac{2}{9} \right )\cdot a^{-1}

Entonces tenemos:

\frac{2-a^{2}}{(a+1)^{2}\cdot a}=-\left ( \frac{2}{9} \right )\cdot a^{-1}
\frac{-(a^{2}-2)}{(a+1)^{2}\cdot \cancel{a}}=\frac{-2}{9\cancel{a}}
\rightarrow \frac{a^{2}-2}{(a+1)^{2}}=\frac{2}{9}
\frac{a^{2}-2}{(a+1)^{2}}=\frac{2^{2}-2}{(2+1)^{2}}\rightarrow \mathbf{a=2}

Por simple comparación dado que a pertenece a los enteros positivos

Leyes de exponentes ejercicios nivel intermedio

Esta segunda parte de ejercicios, busca mezclar la potencia y la radicación, que es lo más común dentro de una prueba. A su vez, incluiremos preguntas donde te pedirán aplicar: ecuaciones exponenciales.

Problema 6

Si:

a^{2a^{6}}=3;a> 0

Calcule el valor de:

\left ( a^{a^{a^{6}}} \right )^{\sqrt{3}}

Solución:

De:

a^{2a^{6}}=3;a> 0

obtenemos:

a^{6a^{6}}=3^{3}\rightarrow \left ( a^{6} \right )^{a^{6}}=3^{3}
\rightarrow a^{6}=3\rightarrow a^{3}=\sqrt{3}

Luego

\left ( a^{a^{a^{6}}} \right )^{\sqrt{3}}=\left ( a^{a^{3}} \right )^{\sqrt{3}}=\left ( a^{\sqrt{3}} \right )^{\sqrt{3}}
=a^{3}=\mathbf{\sqrt{3}}

Pregunta 7 (Leyes de los radicales)

Sea n un número impar tal que

A=\underset{n-radicales}{\underbrace{\sqrt[3]{4\sqrt[3]{4\sqrt[3]{4\cdots}}}}}
B=\underset{n-radicales}{\underbrace{\sqrt[3]{16\div \sqrt[3]{16\div \sqrt[3]{16\div \cdots}}}}}

Calcule el valor de AxB

Solución:

Sean:

\small A=\sqrt[3]{4\cdot \sqrt[3]{4\cdot \sqrt[3]{4\cdot \cdots \cdot \sqrt[3]{4}}}}\cdot \frac{\sqrt[3^{n}]{2}}{\sqrt[3^{n}]{2}}
\small \rightarrow A=\frac{\sqrt[3]{4\cdot \sqrt[3]{4\cdot \sqrt[3]{4\cdots \cdot \sqrt[3]{4\cdot 2}}}}}{\sqrt[3^{n}]{2}}
\rightarrow \mathbf{A=\frac{2}{\sqrt[3^{n}]{2}}}
\tiny B=\sqrt[3]{16\div \sqrt[3]{16\div \sqrt[3]{16\div \cdots \div \sqrt[3]{8\cdot 2}}}}
B=\sqrt[3]{16\div \left ( 2\div \sqrt[3^{n-1}]{2} \right )}
B=\sqrt[3]{8\cdot \sqrt[3^{n-1}]{2}}=2\sqrt[3^{n}]{2}

Luego, hacemos AxB

AB=\frac{2}{\cancel{\sqrt[3^{n}]{2}}}\cdot 2 \cancel{\sqrt[3^{n}]{2}}=4

Pregunta 8

Indique qué número se obtiene luego de efectuar:

\left [ \left ( 256 \right )^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}(1-\sqrt{8})}}\right ]^{\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2^{\frac{1}{2}}}}

Solución:

Sea:

\left [ \left ( 256 \right )^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}(1-\sqrt{8})}}\right ]^{\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2^{\frac{1}{2}}}}
M=\left [ \left ( 256 \right )^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}-\sqrt{16}}} \right ]^{\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{\sqrt{2}}}
M=\left [ \left ( 256 \right )^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}-4}} \right ]^{\sqrt{2}^{-\sqrt{2}}}
\rightarrow M=\left ( 256 \right )^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}-4}\cdot \sqrt{2}^{-\sqrt{2}}}
M=\left ( 256 \right )^{\sqrt{2}^{-4}}=\left ( 256 \right )^{2^{-2}}
M=\left ( 256 \right )^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{256}
\mathbf{M=4}

Pregunta 9

Simplifique la expresión:

\left ( \frac{x^{x^{-x}}+x^{-x^{x}}}{x^{-x^{-x}}+x^{x^{x}}} \right )^{\frac{x^{x}}{1-x^{2x}}}

si x>0

Solución:

Sean:

\left\{\begin{matrix}
A=x^{x^{-x}}\rightarrow A^{-1}=x^{-x^{-x}}
\\B=x^{-x^{x}}\rightarrow B^{-1}=x^{x^{x}}
\end{matrix}\right.

Además:

AB=x^{x^{-x}}\cdot x^{-x^{x}}=x^{x^{-x}-x^{x}}

Como:

x^{-x}-x^{x}=\frac{1}{x^{x}}-x^{x}=\frac{1-x^{2x}}{x^{x}}

Entonces:

\mathbf{AB=x^{\frac{1-x^{2x}}{x^{x}}}}

Luego:

\left ( \frac{x^{x^{-x}}+x^{-x^{x}}}{x^{-x^{-x}}+x^{x^{x}}} \right )^{\frac{x^{x}}{1-x^{2x}}}
=\left ( \frac{A+B}{A^{-1}+B^{-1}} \right )^{\frac{x^{x}}{1-x^{2x}}}
=\left ( \frac{A+B}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}} \right )^{\frac{x^{x}}{1-x^{2x}}}=\left ( AB \right )^{\frac{x^{x}}{1-x^{2x}}}
=\left ( x^{\frac{1-x^{2x}}{x^{x}}} \right )^{\frac{x^{x}}{1-x^{2x}}}
=x^{\frac{1-x^{2x}}{x^{x}}\cdot \frac{x^{x}}{1-x^{2x}}}=x

Pregunta 10

Luego de resolver la ecuación:

x^{x^{\sqrt[4]{x}+0,25}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\sqrt{2}^{1-2\sqrt{2}}}

Indique el valor de:

\sqrt[4x+3]{x^{8}}

Solución:

Simplificamos cada miembro de la ecuación

El primer miembro:

x^{x^{\sqrt[4]{x}+0,25}}=x^{x^{\sqrt[4]{x}+\frac{1}{4}}}=x^{x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\sqrt[4]{x}}}
=x^{\sqrt[4]{x}\cdot x^{\sqrt[4]{x}}}
\rightarrow x^{x^{\sqrt[4]{x}+0,25}}=\left ( x^{\sqrt[4]{x}} \right )^{x^{\sqrt[4]{x}}}

Ahora simplificamos el segundo miembro:

\left ( \frac{1}{2} \right )^{\sqrt{2}^{1-\sqrt{2}}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{\sqrt{2}^{1}}{\sqrt{2}^{2\sqrt{2}}}}
=\left [ \left ( \frac{1}{2} \right )^{\sqrt{2}} \right ]^{\frac{1}{2^{\sqrt{2}}}}=\left [ \left ( \frac{1}{2} \right )^{\sqrt{2}} \right ]^{\left ( \frac{1}{2} \right )^{\sqrt{2}}}

Luego:

x^{x^{\sqrt[4]{x}+0,25}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\sqrt{2}^{1-2\sqrt{2}}}
\left ( x^{\sqrt[4]{x}} \right )^{x^{\sqrt[4]{x}}}=\left [ \left ( \frac{1}{2} \right )^{\sqrt{2}} \right ]^{\left ( \frac{1}{2} \right )^{\sqrt{2}}}
\rightarrow x^{\sqrt[4]{x}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\sqrt{2}}
x^{\sqrt[4]{x}}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{\sqrt{\frac{2}{4}}}
x^{\sqrt[4]{x}}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{\sqrt[4]{\frac{1}{4}}}

Entonces tendremos:

\rightarrow x=\frac{1}{4}\rightarrow 4x=1
\therefore \sqrt[4x+3]{x^{8}}=\sqrt[4]{\left ( \frac{1}{4} \right )^{8}}
=\left ( \frac{1}{4} \right )^{2}=\frac{1}{16}

Leyes de exponentes ejercicios resueltos preuniversitarios

Esta última sección de ejercicios, contempla preguntas que han venido en exámenes de ingreso a la universidad. el nivel de dificultad será un poco mayor a los anteriores.

Dale una mirada y revisa el paso a paso, para que no quede nada al aire.

Problema 11

Determine el valor de M

\tiny M=\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \sqrt[4]{\frac{3}{4}\cdot \sqrt[5]{\frac{5}{6}}}}\cdot \sqrt[3]{\frac{3}{2}\cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}\cdot \sqrt[5]{\frac{4}{5}}}}}{\sqrt[3]{\frac{3}{4}\cdot \sqrt[4]{\frac{5}{4}\cdot \sqrt[5]{\frac{2}{3}}}}}

Solución:

Para poder solucionar este problema, debemos recordar lo siguiente:

{\color{Red} \sqrt[3]{a\sqrt[4]{b}}\cdot \sqrt[3]{x\sqrt[4]{y}}=\sqrt[3]{ax\sqrt[4]{by}}}

Luego:

M=\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{\cancel{3}}{4}\cdot \frac{5}{\cancel{3}}\sqrt[5]{\frac{\cancel5}{6}\cdot \frac{4}{\cancel 5}}}}}{\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt[4]{\frac{5}{4}\sqrt[5]{\frac{2}{3}}}}}
M=\frac{\sqrt[3]{\frac{3}{4}\cdot \sqrt[4]{\frac{5}{4}\cdot \sqrt[5]{\frac{4}{6}}}}}{\sqrt[3]{\frac{3}{4}\cdot \sqrt[4]{\frac{5}{4}\cdot \sqrt[5]{\frac{2}{3}}}}}
\therefore \mathbf{M=1}

Pregunta 12

\textup{Calcule el valor de}\ a^{\left ( \frac{a^{a+1}}{a^{a}-1} \right )}

Si:

a^{-a}=\frac{1}{3}

Solución:

 \textup{De}\ a^{-a}=\frac{1}{3}\  \textup{, obtenemos}\ a^{a}=3

Luego:

a^{\frac{a^{a+1}}{a^{a}-1}}=a^{\frac{a^{a}\cdot a}{3-1}}=a^{\frac{3a}{2}}
=\left ( a^{a} \right )^{\frac{3}{2}}=3^{\frac{3}{2}}
\therefore a^{\frac{a^{a+1}}{a^{a}-1}}=\sqrt{3}^{3}=3\sqrt{3}

Pregunta 13

\textup{Si}\ x^{x}=2
\textup{Calcule el valor de}\ x^{x^{1+2x^{1+x}}}

Solución:

\textup{Por fórmula y el dato,}\ x^{x}=2
{\color{Red} x^{1+x}=x^{1}\cdot x^{x}\rightarrow x^{1+x}=2x}

Luego:

\small x^{x^{1+2x^{1+x}}}=x^{x^{1+2\left ( 2^{x} \right )}}=x^{x^{1+4x}}=x^{x\cdot x^{4x}}
x^{x^{1+2x^{1+x}}}=x^{x\cdot \left ( x^{x} \right )^{4}}=\left ( x^{x} \right )^{\left ( x^{x} \right )^{4}}
\therefore x^{x^{1+2x^{1+x}}}=2^{2^{4}}=2^{16}

Pregunta 14

Simplifique la expresión S.

\small S=\left ( x^{\frac{n}{n-1}}\cdot \sqrt[n-1]{\frac{y^{n+1}}{\sqrt[n]{xy^{n+1}}}} \right )^{\frac{n}{n+1}}

Solución:

Sea:

S=\left ( \sqrt[n-1]{x^{n}}\cdot \sqrt[n-1]{\frac{y^{n+1}}{\sqrt[n]{xy^{n+1}}}} \right )^{\frac{n}{n+1}}

Entonces:

S=\left ( \sqrt[n-1]{\frac{x^{n}\cdot y^{n+1}}{\sqrt[n]{xy^{n+1}}}} \right )^{\frac{n}{n+1}}
S=\left ( \frac{x^{n}\cdot y^{n+1}}{\sqrt[n]{xy^{n+1}}} \right )^{\frac{n}{n+1}\cdot \frac{1}{n-1}}
S=\left ( \frac{\sqrt[n]{x^{n}}^{n}}{\sqrt[n]{x}}\cdot \frac{\sqrt[n]{y^{n+1}}^{n}}{\sqrt[n]{y^{n+1}}} \right )^{\frac{n}{n^{2}-1}}

Luego:

S=\left ( \sqrt[n]{x}^{n^{2}-1}\cdot \sqrt[n]{y^{n+1}}^{n-1} \right )^{\frac{n}{n^{2}-1}}
S=\left ( \sqrt[\cancel n]{x}^{\cancel {n^{2}-1}} \right )^{\frac{\cancel n}{\cancel {n^{2}-1}}}\cdot \left ( \sqrt[\cancel n]{y^{\cancel {n^{2}-1}}} \right )^{\frac{\cancel n}{\cancel {n^{2}-1}}}
\therefore \mathbf{S=x\cdot y}

Problema 15

Simplifique la expresión E.

\tiny E=\frac{\sqrt[x]{2^{x}+3^{-x}}+\sqrt[x]{2^{-x}+3^{x}}}{\sqrt[x]{6^{x}+1}};\forall x\in \mathbb{N}-\left \{ 1 \right \}

Solución:

Veamos:

\tiny E=\frac{\sqrt[x]{3^{-x}\left ( \frac{2^{x}}{3^{-x}}+1 \right )}+\sqrt[x]{2^{-x}\left ( 1+\frac{3^{x}}{2^{-x}} \right )}}{\sqrt[x]{6^{x}+1}}

Luego

\tiny E=\frac{\sqrt[x]{3^{-x}}\cdot \sqrt[x]{2^{x}\cdot 3^{x}+1}+\sqrt[x]{2^{-x}}\cdot \sqrt[x]{1+3^{x}\cdot 2^{x}}}{\sqrt[x]{6^{x}+1}}
\small E=\frac{3^{-1}\cdot \sqrt[x]{6^{x}+1}+2^{-1}\cdot \sqrt[x]{6^{x}+1}}{\sqrt[x]{6^{x}+1}}
\therefore E=\frac{\cancel{\sqrt[x]{6^{x}+1}}\left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right )}{\cancel {\sqrt[x]{6^{x}+1}}}=\frac{5}{6}

Cómo resolver ejercicios de leyes de exponentes

Si eres de los que necesita ver una clase explicada sobre el tema, te voy a compartir dos vídeos donde se desarrolla el tema completo.

Leyes de exponentes ejercicios resueltos PDF

Ahora te toca a ti. A continuación de dejo un enlace que te llevará a que puedas descargarte una separata con ejercicios en formato PDF, resuélvelos y ganarás mucha destreza y habilidad.

Recuerda:

La practica hace al maestro.

Conclusiones:

Esperamos haberte podido ayudar con el artículo Leyes de exponentes ejercicios resueltos. a continuación te voy a sugerir que puedas revisar otro de nuestros artículos importantes, estoy refiriéndome a Polinomios ejercicios resueltos.

Si deseas que trabajemos la solución de problemas de algún tema específico, sólo déjame el nombre en los comentarios que gustoso lo trabajaré.

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