Polinomios ejercicios resueltos

En este artículo vamos a desarrollar el tema Polinomios ejercicios resueltos, que te permitirán ampliar tus conocimientos en la materia; 27 ejercicios a saco, desarrollados paso a paso con mucha probabilidad de que te vengan en un examen.

La mayoría de estos son de nivel preuniversitario, así que si ya estás próximo a postular a la universidad o a un instituto, este artículo es el que estabas buscando.

Por cierto! debes tener conocimientos previos para que no se te escape nada, me refiero a la teoría de exponentes, parte fundamental dentro del algebra.

Polinomios Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

¿Cuántas Expresiones de las indicadas son racionales?

\begin{equation*}
\begin{split}
I.& \ \ T_{\left ( x;y \right )}=5x^{4}+7y^{-1} \\
II.& \ \ S_{\left ( x;y;z \right )}=\frac{45}{xyz}\sqrt{2}\\
III.& \ \ U_{\left ( x;y;z \right )}=xy\sqrt{z^{z}}\\
IV.& \ \ M_{\left ( a;b \right )}=\frac{32\sqrt{5}}{\pi }
\end{split}
\end{equation*}

Solución

Una expresión algebraica es racional si todos los exponentes de las variables son enteros.

\small \begin{equation*}
\begin{split}
I.& \ \ T_{\left ( x;y \right )} =5x^{4}+7y^{-1} \ \ \textup{es racional.} \\
II.& \ \ S_{\left ( x;y;z \right )} =\frac{45}{xyz}\sqrt{2} \ \ \textup{es racional.}\\
III.& \ \ U_{\left ( x;y;z \right )}=xyz^{\frac{z}{2}}\rightarrow \ \ \textup{no es racional} \\
IV.& \ \ M_{\left ( a;b \right )}=\frac{32\sqrt{5}}{\pi } \ \ \textup{es una expresión}\\ 
&\textup{constante y cumple la definición de}\\
&\textup{expresión algebraica racional}
\end{split}
\end{equation*}

Ejercicio 2

¿Cuántas de las expresiones indicadas son términos algebraicos?

\begin{equation*}
\begin{split}
I.& \ \  S_{\left ( x;y \right )}=32x+y\sin z  \\
II.& \ \ A_{\left ( x;y \right )}=\frac{47}{xy}\sqrt{xy}\\
III.& \ \ B_{\left ( x;y \right )}=\frac{7x\sqrt{y}}{z+1}\\
IV.& \ \ C_{\left ( x;y;t \right )}=\left ( z+3 \right )xyt^{3}
\end{split}
\end{equation*}

Solución

Una expresión algebraica es término algebraico si sus variables no están separadas por adición o sustracción.

En ese caso, las siguientes expresiones cumplen:

\begin{equation*}
\begin{split}
II.& \ \ A_{\left ( x;y \right )}=\frac{47}{xy}\sqrt{xy}\\
III.& \ \ B_{\left ( x;y \right )}=\frac{7x\sqrt{y}}{z+1} \\
&\textup{(z no es variable)}\\
IV.& \ \ C_{\left ( x;y;t \right )}=\left ( z+3 \right )xyt^{3} \\
&\textup{(z no es variable)}
\end{split}
\end{equation*}

Ejercicio 3

¿Cuántos valores puede tomar n en T para que sea un polinomio Mónico?

T_{\left ( x \right )}=\left ( n-5 \right )x^{n-2}+5x^{6-n}+3

Solución

El Polinomio:

T_{\left ( x \right )}=\left ( n-5 \right )x^{n-2}+5x^{6-n}+3

solo podría ser mónico si n-5=1. Entonces n=6.

Sin embargo, el exponente de un polinomio no puede ser cero.

Por lo tanto, T(x) nunca será mónico.

Ejercicio 4

Calcule el valor numérico de P en -2.

Si\ P_{\left ( x \right )}=32x^{4}+16x^{5}+x+7

Solución:

Calculamos el valor numérico de:

P_{\left ( x \right )}=32x^{4}+16x^{5}+x+7

cuando x es -2.

Entonces tendríamos:

\small 
\begin{align*}
P_{\left ( -2 \right )}&=32\left ( -2 \right )^{4}+16\left ( -2 \right )^{5}+-2+7\\
&=\cancel{2^{5}\cdot 2^{4}}-\cancel{2^{4}\cdot 2^{5}}-2+7\\
&=5
\end{align*}

Ejercicio 5

Calcule el valor numérico de S en -1, si:

S_{\left ( 2x-3 \right )}=7x^{3}+4

Solución:

Calculamos el valor numérico de

S_{\left ( 2x-3 \right )}=7x^{3}+4 \ \ \textup{en (-1)}

Pero como 2x-3=-1; entonces x=1.

Reemplazamos:

S_{\left ( -1 \right )}=7\cdot 1^{3}+4=11
polinomios ejercicios resueltos imagen

Ejercicio 6

Halle el término independiente en:

P_{\left ( 3x-1 \right )}=4x+5

Solución:

Calculamos el término independiente de:

P_{\left ( 3x-1 \right )}=4x+5

Para ello debemos recordar que: El término independiente de P es P(0)

\textup{Entonces}\ \ 3x-1=0\rightarrow x=\frac{1}{3}

Reemplazamos x

x=\frac{1}{3}\rightarrow P_{\left ( 0 \right )}=4\cdot \frac{1}{3}+5=\frac{19}{3}

Ejercicio 7

Dado el polinomio:

P_{\left ( 3-x \right )}=x^{3}-5x+1+\left ( x-2 \right )^{4}

Calcule la suma de coeficientes.

Solución:

Nos piden la suma de coeficientes de:

P_{\left ( 3-x \right )}=x^{3}-5x+1+\left ( x-2 \right )^{4}

Recuerda que: La suma de coeficientes de P es P(1)

Entonces:

3-x=1\rightarrow x=2

Reemplazamos x

\begin{align*}
\rightarrow P_{\left ( 1 \right )}&=2^{3}-5\cdot 2+1+\left ( 2-2 \right )^{4}\\
&=8-10+1+0=-1
\end{align*}

Ejercicio 8

\small \textup{Si}\ \ T_{\left ( x \right )}=\frac{2x-1}{x-2};x\neq 2\ \textup{halle}\ T_{\left ( T_{\left ( x-1 \right )} \right )}

Solución:

\textup{Dado} \ T_{\left ( x \right )}=\frac{2x-1}{x-2}\ \textup{tenemos}
\textup{I.}\ \ \ T_{\left ( x-1 \right )}=\frac{2\left ( x-1 \right )-1}{\left ( x-1 \right )-2}=\frac{2x-3}{x-3}
\tiny
\textup{II.}\ \ \ T_{\left ( T_{\left ( x-1 \right )} \right )}=T\left ( \frac{2x-3}{x-3} \right )=\frac{2\left ( \frac{2x-3}{x-3} \right )-1}{\frac{2x-3}{x-3}-2}
\frac{\frac{4x-6-x+3}{\cancel{x-3}}}{\frac{\cancel{2x}-3-\cancel{2x}+6}{\cancel{x-3}}}=\frac{3x-3}{3}=x-1

Ejercicio 9

Si el polinomio:

\small P_{\left ( x;y;z \right )}=3x^{a-5}+y^{b-1}+cz^{c^{2}}-7xy^{2}z

es homogéneo. ¿Cuál es el mínimo valor de a+b+c?

Solución:

Dado el polinomio homogéneo:

\small P_{\left ( x;y;z \right )}=3x^{a-5}+y^{b-1}+cz^{c^{2}}-7xy^{2}z

se cumplirá que:

a-5=b-1=c^{2}=1+2+1=4

Entonces:

\begin{align*}
&a-5=4\rightarrow a=9\\
&b-1=4\rightarrow b=5
\end{align*}
c^{2}=4\rightarrow c=\pm 2
\therefore \left ( a+b+c \right )_{minimo}=9+5-2=12

Ejercicio 10

\tiny
\textup{Si}\ \left ( 3x-1 \right )^{n}\ \textup{es identico a}\ Ax^{n}+Bx^{n-1}+\cdots +2D-1

¿Cuál es el valor de D?

Solución:

De la identidad

\tiny \left ( 3x-1 \right )^{n}\equiv Ax^{n}+Bx^{n-1}+\cdots +2D-1
\textup{Para}\ x=0\rightarrow \left ( -1 \right )^{n}=2D-1
\rightarrow D=\frac{\left ( -1 \right )^{n}+1}{2}

Ejercicio 11

Dada la igualdad:

f_{\left ( x+y \right )}=f_{\left ( x \right )}+f_{\left ( y \right )}

Indique el valor de f(0)

Solución:

De la igualdad

f_{\left ( x+y \right )}=f_{\left ( x \right )}+f_{\left ( y \right )}

Para x=0

\rightarrow f_{\left ( 0 \right )}=f_{\left ( 0 \right )}+f_{\left ( 0 \right )}
\rightarrow f_{\left ( 0 \right )}=2f_{\left ( 0 \right )}\rightarrow f_{\left ( 0 \right )}=0

Ejercicio 12

De la igualdad:

\frac{f_{\left ( x \right )+2}}{f_{\left ( x \right )-2}}=\frac{x\left ( x^{2}+3 \right )}{3x^{2}+1}

Indique el valor numérico de f en:

\frac{\sqrt[3]{7}+1}{\sqrt[3]{7}-1}

Solución:

Aplicamos en

\frac{f_{\left ( x \right )+2}}{f_{\left ( x \right )-2}}=\frac{x\left ( x^{2}+3 \right )}{3x^{2}+1}

una de las propiedades de proporciones:

{\color{Red} \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\rightarrow \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}}

Luego:

\frac{\cancel{2}f_{\left ( x \right )}}{\cancel{2}\cdot 2}=\frac{x^{3}+3x+3x^{2}+1}{x^{3}+x-3x^{2}-1}
\frac{f_{(x)}}{2}=\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )^{3}

A partir del dato

x=\frac{\sqrt[3]{7}+1}{\sqrt[3]{7}-1}

Aplicando la propiedad anterior:

\frac{x+1}{x-1}=\frac{\cancel{2}\sqrt[3]{7}}{\cancel{2}\cdot 1}
\rightarrow \left ( \frac{x+1}{x-1} \right )^{3}=7

Por lo tanto, lo pedido será:

f_{\left ( \frac{\sqrt[3]{7}+1}{\sqrt[3]{7}-1} \right )}=2\cdot 7=14

Polinomios – Marco Teórico

Aquí te dejo un enlace hacia un artículo, que te puede servir de mucho. Si necesitas complementar tu aprendizaje con la parte teórica de polinomios.

Polinomios Ejercicios resueltos de forma sencilla

Los 12 primeros ejercicios que hemos resueltos de polinomios, se han tratado a nivel general. En esta sección vamos a desarrollarlos por niveles, de manera que cualquier estudiante pueda ubicarse, de acuerdo al nivel académico que tenga actualmente

Polinomios ejercicios resueltos – Nivel I (Intermedio)

Pregunta 1

Sea el polinomio:

P_{\left ( x \right )}=\frac{3x+1}{2}

Calcule:

\textup{Calcule}\ \ \frac{P_{\left ( 5 \right )}+P_{\left ( -1 \right )}}{P_{\left ( 0 \right )}}

Solución:

Tenemos el polinomio:

P_{\left ( x \right )}=\frac{3x+1}{2}

Evaluamos en:

\begin{align*}
x=5&:\ P_{\left ( 5 \right )}=8\\
x=-1&:\ P_{\left ( -1 \right )}=-1\\
x=0&:\ P_{\left ( 0 \right )}=\frac{1}{2}
\end{align*}

Luego:

\frac{P_{\left ( 5 \right )}+P_{\left ( -1 \right )}}{P_{\left ( 0 \right )}}=\frac{8+(-1)}{\frac{1}{2}}=\frac{7}{\frac{1}{2}}=14

Pregunta 2

\textup{Sea}\ \ P_{\left ( x;y \right )}=x^{2n-3}\cdot y^{2n+5},

donde el grado relativo respecto a x es 7.

Calcule el grado absoluto de la expresión.

Solución:

En el monomio:

P_{\left ( x;y \right )}=x^{2n-3}\cdot y^{2n+5}

el grado relativo con respecto a x es 2n-3 y el grado absoluto es 2n-3 + 2n+5 = 4n+2.

Luego, del dato:

\begin{align*}
2n-3=7 \\
\rightarrow n=5
\end{align*}
\therefore GA\left ( P_{\left ( x;y \right )} \right )=4(5)+2=22

Pregunta 3

Sea:

P_{\left ( \frac{x}{5} \right )}=x^{20}-125x^{17}+3x+2

¿Cuál es el valor numérico de P en 1?

Solución:

Se tiene:

P_{\left ( \frac{x}{5} \right )}=x^{20}-125x^{17}+3x+2

Nos piden calcular P(1); entonces, por la variable x/5 debemos evaluar en x=5.

Luego:

\begin{align*}
P_{\left ( \frac{5}{5} \right )}&=5^{20}-125\cdot 5^{17}+3\cdot 5+2\\
P_{\left ( 1 \right )}&=5^{20}-5^{3}\cdot 5^{17}+15+2\\
&=5^{20}-5^{20}+17\\
&=17\\
P_{\left ( 1 \right )}&=17
\end{align*}

Pregunta 4

\text{Dado que}\ P_{\left ( x \right )}=x^{3}-4x^{2}+3x-13 

¿Cuál es el valor de P(P(4))?

Solución:

Tenemos el polinomio:

P_{\left ( x \right )}=x^{3}-4x^{2}+3x-13

y debemos calcular P(P(4)); entonces evaluaremos sucesivamente en x=4 y x=P(4).

Así:

\small \begin{align*}
x=4:\ P_{\left ( 4 \right )}&=\cancel{4^{3}}-\cancel{4\cdot 4^{2}}+3\cdot 4-13\\
P_{\left ( 4 \right )}&=-1
\end{align*}

Ahora, como vamos a calcular P(P(4))=P(-1).

Evaluamos en x=-1

\tiny \begin{align*}
x=-1:\ P_{\left ( -1 \right )}&=\left ( -1 \right )^{3}-4\left ( -1 \right )^{2}+3\left ( -1 \right )-13\\
&=-1-4-3-13\\
&=-21
\end{align*}
\therefore P_{\left ( P_{\left ( 4 \right )} \right )}=-21

Pregunta 5

\begin{align*}
&\text{Sea}\ P_{\left ( x \right )}=k;\ k\in \mathbb{R}.\\
&\text{Calcule}\ P_{\left ( 1 \right )}+P_{\left ( 2 \right )}+\cdots +P_{\left ( 100 \right )}.
\end{align*}

Solución:

Como el polinomio P(x)=k es constante, entonces para cualquier valor de x el valor numérico es k.

Luego:

\tiny \begin{align*}
P_{\left ( 1 \right )}+P_{\left ( 2 \right )}+\cdots +P_{\left ( 100 \right )}&=\underset{100\ sumandos}{\underbrace{k+k+\cdots +k}}\\
&=100k\\
\end{align*}
\therefore P_{\left ( 1 \right )}+P_{\left ( 2 \right )}+\cdots +P_{\left ( 100 \right )}=100k

Nivel II (Intermedio)

Pregunta 6

Si:

\tiny H_{\left ( H_{\left ( x \right )} \right )}=4x-3;\ H_{\left ( x \right )}=ax+b\ \ y\ \ a> 0.

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

  1. La suma de coeficientes de H(2x-1) es -1.
  2. H(5)=17.
  3. El término independiente de H(3x+1) es -3.

Solución:

\text{En}\ H_{\left ( x \right )}=ax+b;\ a>0
\small \begin{align*}
x<>H_{\left ( x \right )}\rightarrow H_{\left ( H_{\left ( x \right )} \right )}&=aH_{\left ( x \right )}+b\\
&=a(ax+b)+b\\
&=a^{2}x+ab+b
\end{align*}

Por dato:

H_{\left ( H_{\left ( x \right )} \right )}=4x+3

Luego:

\begin{align*}
\rightarrow a^{2}&=4\ \wedge \ ab+b=3\\
a&=2;\ pues\ a>0\rightarrow 3b=3\\
b&=1
\end{align*}

Finalmente:

\begin{align*}
H_{\left ( x \right )}&=2x+1,\ de\ donde\\
H_{(1)}&=3;\ H_{(5)}=11;\ H_{(0)}=1
\end{align*}

Por lo que podemos decir:

  1. Falsa
  2. Falsa
  3. Falsa

Pregunta 7

Sean los polinomios:

\tiny P_{\left ( x \right )}=2x^{2}-15\ \wedge \ Q_{\left ( x;y \right )}=2x+3y-2.

Halle el término independiente del polinomio H(t), sabiendo que:

H_{\left ( t \right )}=Q_{\left ( P_{\left ( 3 \right )};3t-1 \right )}.

Solución:

Tenemos:

\small \begin{align*}
&P_{\left ( x \right )}=2x^{2}-15;\ Q_{\left ( x;y \right )}=2x+3y-2\\
&H_{\left ( t \right )}=Q_{\left ( P_{\left ( 3 \right )};3t-1 \right )}
\end{align*}

Entonces:

x=3\rightarrow P_{\left ( 3 \right )}=2\cdot 3^{2}-15=3

Como:

\small 
H_{\left ( t \right )}=Q_{\left ( P_{\left ( 3 \right )};3t-1 \right )}=Q_{\left ( 3;3t-1 \right )}\\
=2\left ( 3 \right )+3\left ( 3t-1 \right )-2

Luego

\begin{align*}
H_{\left ( t \right )}&=9t+1\\ 
\therefore H_{\left ( 0 \right )}&=1
\end{align*}

Pregunta 8

En el polinomio:

\small P_{\left ( x-2 \right )}=\left ( x+2 \right )^{3}-3\left ( x-1 \right )+mx+5

Se cumple que la sumatoria de coeficientes y el término independiente suman 200; según ello, establezca el valor de verdad de cada una de las proposiciones con respecto al polinomio P(x).

  1. El término independiente del polinomio es 129.
  2. La suma de sus coeficientes es 71.
  3. P(2)=63+4

Solución:

Se tiene:

\small P_{\left ( x-2 \right )}=\left ( x+2 \right )^{3}-3\left ( x-1 \right )+mx+5

Sabemos que la suma de coeficientes es P(1) y el término independiente es P(0); luego evaluamos en:

x=3: P(1) = 53 – 3(2) + 3m + 5 = 3m + 124

x=2: P(0) = 43 – 3(1) + 2m + 5 = 2m + 66

Del dato:

P(1) + P(0) =3m + 124 + 2m + 66 = 200

\begin{align*}
\leftrightarrow 5m+190&=200\\
m&=2
\end{align*}

Luego se tiene el polinomio

\small P_{\left ( x-2 \right )}=\left ( x+2 \right )^{3}-3\left ( x-1 \right )+2x+5

Luego, analizando cada proposición:

\tiny \begin{align*}
I.\ &\textbf{Falsa}\\
&T.I=P_{\left ( 0 \right )}=2m+66=70\\
II.\ &\textbf{Falsa}\\
&\sum coef.=P_{\left ( 1 \right )}=3m+124=130\\
III.\ &\textbf{Verdadera}\\
&P_{\left ( 2 \right )}=6^{3}-3\left ( 3 \right )+8+5=216+4=220
\end{align*}

Pregunta 9

En el polinomio

P_{\left ( x \right )}=\left ( 1+2x \right )^{n}+\left ( 1+3x \right )^{n}

la suma de coeficientes excede en 23 al término independiente.

Según ello, establezca el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

  1. El polinomio P(x) es de grado 2.
  2. La suma de sus coeficientes es 25.
  3. El término cuadrático de P(x) es 12x2.

Solución:

Se tiene

P_{\left ( x \right )}=\left ( 1+2x \right )^{n}+\left ( 1+3x \right )^{n}

Como la suma de coeficientes excede en 23 al término independiente, entonces:

\begin{align}
P_{\left ( 1 \right )}=P_{\left ( 0 \right )}+23
\end{align}

Debemos recordar que el término independiente es P(0) y la suma de coeficientes es P(1).

Luego evaluamos

\begin{align*}
P_{\left ( 1 \right )}&=3^{n}+4^{n}\\
P_{\left ( 0 \right )}&=1^{n}+1^{n}=2
\end{align*}

Reemplazamos en (1)

3^{n}+4^{n}=2+23=25

de donde n=2.

Luego

\begin{align*}
P_{\left ( x \right )}&=\left ( 1+2x \right )^{2}+\left ( 1+3x \right )^{2}\\
&=13x^{2}+10x+2
\end{align*}

Entonces concluimos que el polinomio es de segundo grado, la suma de coeficientes es 25 y el término cuadrático es 13x2.

Por lo tanto, las dos primeras proposiciones son verdaderas y la última es falsa.

Pregunta 10

Si la expresión algebraica:

S_{\left ( x \right )}=\frac{\left [ \left ( x^{n-2} \right )^{3}\cdot x^{2n-3} \right ]^{2}\cdot x^{4}}{\left ( \left ( x^{n} \right )^{2}\cdot x^{4} \right )^{2}}

se reduce a un monomio de segundo grado, calcule el valor de n.

Solución:

Reducimos la expresión

\begin{align*}
S_{\left ( x \right )}&=\frac{\left [ \left ( x^{n-2} \right )^{3}\cdot x^{2n-3} \right ]^{2}\cdot x^{4}}{\left ( \left ( x^{n} \right )^{2}\cdot x^{4} \right )^{2}}\\
&=\frac{\left [ x^{3n-6}\cdot x^{2n-3} \right ]^{2}\cdot x^{4}}{\left ( x^{2n+4} \right )^{2}}
\end{align*}

Tenemos:

\begin{align*}
S_{\left ( x \right )}&=\frac{\left ( x^{5n-9} \right )^{2}\cdot x^{4}}{x^{4n+8}}=\frac{x^{10n-18}\cdot x^{4}}{x^{4n+8}}\\ \\
S_{\left ( x \right )}&=\frac{x^{10n-14}}{x^{4n+8}}=x^{6n-22}
\end{align*}

Como es un monomio de segundo grado, entonces:

\begin{align*}
6n-22=2\\ 
n=4
\end{align*}

Por lo tanto, el valor de n es 4.

Polinomios ejercicios resueltos – Nivel II (Avanzado)

Pregunta 11

Sabiendo que P(x) es un polinomio de grado n completo y ordenado en forma descendente, donde además se cumple que la suma en cada término del coeficiente con su exponente respectivo es n+1, halle el polinomio evaluado en A si:

\small A=\frac{a^{2}}{\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )}+\frac{b^{2}}{\left ( b-c \right )\left ( b-a \right )}\\+\frac{c^{2}}{\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )}

Solución:

Como el polinomio debe ser evaluado en

\small A=\frac{a^{2}}{\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )}+\frac{b^{2}}{\left ( b-c \right )\left ( b-a \right )}\\+\frac{c^{2}}{\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )}

Simplificamos:

\small A=\frac{a^{2}\left ( b-c \right )+b^{2}\left ( c-a \right )+c^{2}\left ( a-b \right )}{\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( b-c \right )}
\small
A=\frac{a^{2}\left ( b-c \right )+b^{2}c-ab^{2}+ac^{2}-bc^{2}}{\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( b-c \right )}
\tiny
A=\frac{a^{2}\left ( b-c \right )+bc\left ( b-c \right )+a\left ( c+b \right )\left ( c-b \right )}{\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( b-c \right )}
A=\frac{\left ( b-c \right )\left ( a^{2}-\left ( b+c \right )a+bc \right )}{\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( b-c \right )}
A=\frac{\left ( b-c \right )\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )}{\left ( b-c \right )\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )}=1

Entonces A=1 y del dato tenemos

\tiny
P_{\left ( x \right )}=x^{n}+2x^{n-1}+3x^{n-2}+\cdots +nx+(n+1)

Nos piden:

\small
\begin{align*}
P_{\left ( 1 \right )}&=1+2+3+\cdots +n+(n+1)\\
\therefore P_{\left ( 1 \right )}&=\frac{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{2}
\end{align*}

Pregunta 12

Si al reducir:

\tiny
 P_{\left ( x \right )}=\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )-\frac{x^{n^{n}}+x^{n}}{x};\ x\neq 0

resulta un polinomio completo. ¿Qué se puede afirmar de:

J_{\left ( x \right )}=\left ( 2x^{n} \right )^{n}+3x^{n^{n}}-4x^{6\cdot n}+y^{n}?
  • a) Es homogéneo.
  • b) Es completo.
  • c) Es ordenado.
  • d) Es un monomio.
  • e) Es un trinomio.

Solución:

Reducimos

\tiny
\begin{align*}
P_{\left ( x \right )}&=\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )-\frac{x^{n^{n}}+x^{n}}{x};\ x\neq 0\\ \\
P_{\left ( x \right )}&=x^{2}-1-x^{n^{n}-1}-x^{n-1}
\end{align*}

Como es completo, entonces debe tener término lineal y cúbico, luego

n-1=1\ \wedge \ n^{n}-1=3

de donde n=2.

Reemplazando en J tenemos:

\begin{align*}
J_{\left ( x \right )}&=\left ( 2x^{n} \right )^{n}+3x^{n^{n}}-4x^{6\cdot n}+y^{n}\\
&=\left ( 2x^{2} \right )^{2}+3x^{2^{2}}-4x^{6\cdot 2}+y^{2}\\
&=4x^{4}+3x^{4}-4x^{12}+y^{2}\\
&=-4x^{12}+7x^{4}+y^{2}
\end{align*}

Por lo tanto, J(x) es un trinomio.

Pregunta 13

Sea la expresión matemática

\tiny
f_{\left ( x \right )}=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x};\ x\in \left \{ -1;0;1. \right \}
\begin{align*}
&\text{Determine m}\ \left ( m\in \mathbb{R}^{+} \right ) \text{, si se}\\
&\text{cumple que}\ f_{\left ( \Delta  \right )}=2,\ \text{cuando}:\\
&\Delta =\sqrt{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{m^{2}}}}
\end{align*}

Solución:

Se tiene

f_{\left ( x \right )}=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}

tal que

\text{tal que}\ f_{\left ( \Delta  \right )}=2,\ \text{donde}
\Delta =\sqrt{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{m^{2}}}};\ m>0
\text{Reemplazando}\ x=\Delta,\ \text{tenemos}
\frac{\Delta }{\sqrt{1-\Delta ^{2}}}+\frac{\sqrt{1-\Delta ^{2}}}{\Delta }=2

Efectuando

\begin{align*}
\Delta &=\sqrt{1-\Delta ^{2}}\\
\Delta ^{2}&=1-\Delta ^{2}\\
\Delta ^{2}&=\frac{1}{2}
\end{align*}

Entonces, de

\Delta =\sqrt{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{m^{2}}}}

se tiene

\begin{align*}
\Delta^{2} &=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{m^{2}}}\\
\cancel{\frac{1}{2}}&=\cancel{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{m^{2}}}
\end{align*}
\begin{align*}
\rightarrow\  &m^{2}=4;\ m>0\\
\therefore\  &m=2
\end{align*}

Pregunta 14

Dado el polinomio que posee grado absoluto igual a 33

\small
P_{\left ( x;y \right )}=2x^{a}y^{a+1}+5x^{2a}y^{a+3}-ax^{a-6}y^{a+7}\\+7x^{2a}y^{a+2},

Calcule el GRx y GRy, respectivamente.

Solución:

Del polinomio:

\small
P_{\left ( x;y \right )}=2x^{a}y^{a+1}+5x^{2a}y^{a+3}-ax^{a-6}y^{a+7}\\+7x^{2a}y^{a+2},

Tenemos que:

GA_{(P_{\left (x;y  \right )})}=3a+3=30\ (\text{dato})

De donde a=10

Luego

P_{\left ( x;y \right )}=2x^{10}y^{11}+5x^{20}y^{13}-10x^{4}y^{17}\\+7x^{20}y^{12}
\therefore GR_{x}=20\ \text y \ GR_{y}=17

Pregunta 15

En el polinomio

P_{\left ( x \right )}=6ax^{5a}+5ax^{4a}+4ax^{3a}\\+3ax^{2a}+20ax^{a}+a

Calcule el valor de a si se cumple que la suma de coeficientes es igual a su término independiente incrementado en 76.

Solución:

En el polinomio

P_{\left ( x \right )}=6ax^{5a}+5ax^{4a}+4ax^{3a}\\+3ax^{2a}+20ax^{a}+a

se cumple

\begin{equation}
\tag{1}
P_{\left ( 1 \right )}=P_{\left ( 0 \right )}+76
\end{equation}

Luego, calculamos P(1) y P(0)

Evaluando en

\begin{align*}
x=1:\ P_{\left ( 1 \right )}&=6a+5a+4a+3a\\&+20a+a\\
&=39a\\
x=0:\ P_{\left ( 0 \right )}&=a
\end{align*}

Reemplazamos en (1)

39a=a+76\rightarrow 38a=76\rightarrow a=2
\therefore a=2

Polinomios especiales ejercicios resueltos

Parte de este tema tan amplio en el álgebra son los polinomios especiales, aprovecho en compartir una clase completa que te será estoy seguro, de mucha utilidad.

Polinomios ejercicios resueltos PDF

Llegó el turno de que te pongas a practicar y que te demuestres a ti mismo de que estás hecho(a). Voy a dejarte un enlace a una serie de ejercicios en PDF para que los resuelvas y así desarrolles mucha destreza y habilidad.

Recuerda que si tienes alguna duda, puedes dejármela en los comentarios. Suelo responder con prontitud, espero haberte podido ayudar con lo que buscaba.

Si quieres que desarrolle algún tema específico, puedes también mencionarlo y lo tendré muy en cuenta.

Conclusiones – Polinomios Ejercicios Resueltos

Esperamos haberte podido ayudar en tu aprendizaje con los polinomios, recuerda que es muy importante que tengas como base las leyes de exponentes, eso te abrirá las puertas a todo el álgebra.

El siguiente tema que debes revisar para que sigas una secuencia ordenada, son los productos notables. Te invito a que no te pierdas el siguiente artículo de este blog.

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