Productos Notables ejercicios

En este artículo vamos a desarrollar el tema Productos notables ejercicios, este corresponde a la materia de algebra, enfocados a personas que se vienen preparando para su ingreso a la universidad.

Son 32 ejercicios resueltos de productos notables que te ayudarán a ganar velocidad en la resolución de problemas donde exista multiplicación algebraica.

Productos Notables ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Si: a+b=5 y ab=2

¿Cuál es el valor de a2+b2?

Solución:

Debemos recordar el siguiente producto notable:

{\color{Red} \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab}

Del dato:

a+b=5 y ab=2

\rightarrow 5^{2}=a^{2}+b^{2}+2\cdot 2
\therefore a^{2}+b^{2}=21

Ejercicio 2

Al desarrollar (2x2+1)2 + (3x2-x)2 se obtuvo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.

¿Cuál es el valor de a+b?

Solución:

Desarrollamos:

\begin{align*}
&\left (2x^{2}+1 \right )^{2}+\left ( 3x^{2}-x \right )^{2}=ax^{4}+\\&bx^{3}+cx^{2}+dx+e\\ \\
&\left ( 2x^{2} \right )^{2}+2\left ( 2x^{2} \right )\cdot 1+1^{2}+\left ( 3x^{2} \right )^{2}\\&-2\left ( 3x^{2} \right )x+x^{2}\\ \\
&=4x^{4}+4x^{2}+1+9x^{4}-6x^{3}+x^{2}
\end{align*}

Simplificamos y ordenamos

13x^{4}-6x^{3}+5x^{2}+0x+1\equiv \\ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e

Ahora, identificamos los coeficientes:

a=13;b=-6\rightarrow a+b=7

Ejercicio 3

¿Cuál es el valor de 2M + 3n?, donde

M=\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right )^{2};\\
N=\left ( \sqrt{8}+\sqrt{2} \right )^{2}-\left ( \sqrt{8}-\sqrt{2} \right )^{2}.

Solución:

Para poder darle solución a este problema, debemos recordar el siguiente producto notable, conocido como las identidades de legendre

\begin{align*}
&{\color{Red}\cdot \left ( a+b \right )^{2}+\left ( a-b \right )^{2}=2\left ( a^{2}+b^{2} \right ) }\\
&{\color{Red}\cdot \left ( a+b \right )^{2}-\left ( a-b \right )^{2}=4ab}
\end{align*}

Luego

\begin{align*}
\cdot M&=\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right )^{2}\\
&=2\left ( \sqrt{5}^{2}+\sqrt{3}^{2} \right )\\&=2\left ( 5+3 \right )=16
\end{align*}
\begin{align*}
N&=\left ( \sqrt{8}+\sqrt{2} \right )^{2}-\left ( \sqrt{8}-\sqrt{2} \right )^{2}\\
&=4\sqrt{8}\sqrt{2}\\
&=4\sqrt{16}=16
\end{align*}
\therefore 2M+3N=2\cdot 16+3\cdot 16=80

Ejercicio 4

Simplifique la expresión

\tiny 3\left ( \sqrt{3}+1 \right )\left ( \sqrt[4]{9}-1 \right )+\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt[4]{25}+\sqrt{2} \right )

Solución:

Simplificamos

\tiny 3\left ( \sqrt{3}+1 \right )\left ( \sqrt[4]{9}-1 \right )+\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt[4]{25}+\sqrt{2} \right )

Hay que tener presente la siguiente observación:

{\color{blue}\sqrt[4]{9}=\sqrt{3},\sqrt[4]{25}=\sqrt{5}}\\ \\
{\color{blue}\text{Además}\ \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )=a^{2}-b^{2}}

Entonces:

\tiny 3\left ( \sqrt{3}+1 \right )\left ( \sqrt{3}-1 \right )+\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right )
3\left ( 3-1 \right )+\left ( 5-2 \right )=6+3=9

Ejercicio 5

¿Cuál es el equivalente simplificado de M?

M=\sqrt[4]{3\left ( 2^{2}+1 \right )\left ( 2^{4}+1 \right )+1}

Solución:

Para simplificar consideramos a 3 como (22-1).

Entonces tendríamos:

\small M=\sqrt[4]{\left ( 2^{2}-1 \right )\left ( 2^{2}+1 \right )\left ( 2^{4}+1 \right )+1}
\begin{align*}
M&=\sqrt[4]{\left ( 2^{4}-1 \right )\left ( 2^{4}+1 \right )+1}\\
M&=\sqrt[4]{2^{8}-1+1}=\sqrt[4]{2^{8}}\\
M&=2^{2}=4
\end{align*}
productos notables ejercicios resueltos imagen

Ejercicio 6

Indique el valor de verdad con respecto a cada proposición.

  • (a+b)2=a2+b2
  • a(bc)=(ab)(ac)
  • (a+b)3=a3+b(3a2+3ab+b2)

Solución:

I. Falso

\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+b^{2}\\
\text{ya que}\ \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab

II. Falso

a\left ( bc \right )=\left ( ab \right )\left ( ac \right )\\
\text{ya que}\ \left ( bc \right )=abc

III. Verdadero

\small
\left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+b\left ( 3a^{2}+3ab+b^{2} \right )\\
\text{ya que}\  \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

Ejercicio 7

Si se cumple que x+4=5; xy=2.

Calcule el valor de (x-y)

Solución:

Con:

x+4=5\rightarrow x=1

Luego:

xy=2\rightarrow y=2

Se pide:

x-y=1-2=-1

Ejercicio 8

¿Cuál es el valor de 2p/m, si se cumple que:

\left ( m+p \right )^{2}+\left ( m-p \right )^{2}=4mp

Solución:

Del dato:

\left ( m+p \right )^{2}+\left ( m-p \right )^{2}=4mp

Tenemos que:

2\left ( m^{2}+p^{2} \right )=4mp

Resolviendo la ecuación:

\begin{align*}
&\rightarrow m^{2}+p^{2}-2mp=0\\
&\rightarrow \left ( m-p \right )^{2}=0\\
&\rightarrow m=p
\end{align*}

Luego, lo pedido:

2\cdot \cancel{\frac{p}{m}}=2

Ejercicio 9

Si:

a^{3}+b^{3}=7\wedge a^{2}b+ab^{2}=\frac{1}{3}

¿Cuál es el valor de (a+b)6?

Solución:

Datos del problema:

a^{3}+b^{3}=7;\ 3ab\left ( a+b \right )=1
\rightarrow \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab\left ( a+b \right )\\
=7+1=8

Finalmente:

\begin{align*}
\left ( a+b \right )^{6}&=\left [ \left ( a+b \right )^{3} \right ]^{2}\\
&=8^{2}=64
\end{align*}

Ejercicio 10

Reduzca la expresión

\small 
\sqrt[3]{3xy\left ( x+y \right )+\left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2}-xy \right )}

Solución:

Vamos a reducir:

\small 
\sqrt[3]{3xy\left ( x+y \right )+\left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2}-xy \right )}

Para ello necesitamos recordar el siguiente producto notable

{\color{Red} x^{3}+y^{3}=\left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2}-xy \right )}

Entonces:

\begin{align*}
&=\sqrt[3]{3xy\left ( x+y \right )+x^{3}+y^{3}}\\
&=\sqrt[\cancel 3]{\left ( x+y \right )^{\cancel 3}}\\
&=x+y
\end{align*}

Ejercicio 11

Si se tiene que a+b+c=0.

¿Cuál es el equivalente de:

\frac{a^{3}+b^{3}-\left ( a+b \right )^{3}}{ab}-3c?
  • a) 0
  • b) 3
  • c) -2c
  • d) 2c
  • e) 1

Solución:

Si: a+b+c=0, simplificamos

\frac{a^{3}+b^{3}-\left ( a+b \right )^{3}}{ab}-3c?

Para ello debes recordar el siguiente teorema:

\small 
{\color{Red} a+b+c=0\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc}

Se pide:

\begin{align*}
&=\frac{a^{3}+b^{3}-\left ( -c \right )^{3}}{ab}-3c\\
&=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{ab}-3c\\
&=\frac{3\cancel{ab}c}{\cancel{ab}}-3c\\
&=3c-3c=0
\end{align*}

Ejercicio 12

Sean a; b; c números reales tales que

a^{2}+5b^{2}+9c^{2}=4ab+6bc.

¿Cuál es el valor de:

\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{6c}{a}

Solución:

Nos piden hallar el valor de

\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{6c}{a}

a partir del dato:

a^{2}+5b^{2}+9c^{2}=4ab+6bc.

Para esto debemos recordar el siguiente producto notable:

Si

{\color{red}x^{2}+y^{2}+z^{2}=0;\ x,y,z\in \mathbb{R}}

Solo es posible si:

{\color{red}x=y=z=0}

Completamos los cuadrados en el dato:

\begin{align*}
\underbrace{a^{2}-4ab+4b^{2}}&+\underbrace{b^{2}-6bc+9c^{2}}=0\\
\left ( a-2b \right )^{2}&+\left ( b-3c \right )^{2}=0
\end{align*}
\begin{align*}
\rightarrow \underbrace{a=2b\wedge b=3c}\\
a=2\left ( 3c \right )=6c
\end{align*}

Luego lo pedido

\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{6c}{a}=\frac{2\cancel b}{\cancel b}+\frac{3\cancel c}{\cancel c}+\frac{\cancel{6c}}{\cancel{6c}}
\therefore 2+3+1=6

Productos Notables Teoría

Si necesitas repasar la teoría de los productos notables, aquí te dejo un enlace que estoy seguro te servirá para complementar tu aprendizaje.

Productos Notables ejercicios resueltos para secundaria

Pregunta 1

Simplifique la expresión:

\frac{\left ( x+1 \right )^{2}+\left ( x+2 \right )^{2}+2x}{\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( x-2 \right )^{2}+14x}
  • a) 3x+1
  • b) 2
  • c) x/2
  • d) 1
  • e) 0

Solución:

Efectuando el desarrollo de los binomios

\frac{x^{2}+\underline{2x}+1+x^{2}+\underline{4x}+4+\underline{2x}}{x^{2}-\underline{2x}+1+x^{2}-\underline{4x}+4+\underline{14x}}

Simplificamos:

\frac{\cancel{2x^{2}+8x+5}}{\cancel{2x^{2}+8x+5}}=1

Pregunta 2

Sean a; b; c números reales tales que:

\frac{b+a}{b+c}=\frac{c}{a}

¿Cuál es el valor de a+b+c si a es diferente de c?

  • a) 1
  • b) a
  • c) b
  • d) c
  • e) 0

Solución:

Del dato:

\frac{b+a}{b+c}=\frac{c}{a}\rightarrow ab+a^{2}=bc+c^{2}

Transponiendo términos convenientemente

ab-bc=c^{2}-a^{2}\\\rightarrow b\left ( a-c \right )=-\left ( a^{2}-c^{2} \right )
b\cancel{\left ( a-c \right )}=-\left ( a+c \right )\cancel{\left ( a-c \right )}

ya que c es diferente de a

\rightarrow b=-a-c
\therefore a+b+c=0

Pregunta 3

Si se cumple que:

\frac{a}{b}+\frac{9b}{a}=6

¿Cuál es el valor de:

\frac{a^{3}-27b^{3}}{a^{3}+27b^{3}}?
  • a) 1
  • b) 0
  • c) 1/3
  • d) 1/2
  • e) -1

Solución:

Del dato:

\frac{a}{b}+\frac{9b}{a}=6\rightarrow a^{2}+9b^{2}=6ab
\rightarrow a^{2}-6ab+9b^{2}=0

Trinomio cuadrado perfecto

\left ( a-3b \right )^{2}=0\rightarrow a=3b

Si a=3b

\rightarrow a^{3}=27b^{3}\rightarrow a^{3}-27b^{3}=0

Por lo tanto, lo pedido será

\frac{0}{a^{3}+27b^{3}}=0

Pregunta 4

\text{Si }\ a+\frac{1}{b}=1 \ \ y \ \  b+\frac{1}{c}=1

¿Cuál es el valor de abc?

  • a) 0
  • b) -1
  • c) 1
  • d) 2
  • e) 1/2

Solución:

De:

a+\frac{1}{b}=1\wedge b+\frac{1}{c}=1

Multiplicamos miembro a miembro

ab+\cancel{\frac{b}{b}}+\frac{a}{c}+\frac{1}{bc}=\cancel 1
ab=-\left ( \frac{a}{c}+\frac{1}{bc} \right )

Multiplicamos por c

abc=-\underset{1}{\cancel{\left ( a+\frac{1}{b} \right )}}
\therefore abc=-1

Respuesta: Clave B

Pregunta 5

Si:

x_{n}=\underset{n\ radicales}{\underbrace{\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\cdots +\sqrt{3}}}}}}

¿Cuál es el valor de

x_{30}^{4}-x_{29}^{2}-6x_{29}?
  • a) 9
  • b) 27
  • c) 18
  • d) 3
  • e) 6

Solución:

Para n=30

x_{30}=\underset{29\ radicales}{\underbrace{\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\cdots +\sqrt{3}}}}}}
\rightarrow x_{30}=\sqrt{3+x_{29}}
\rightarrow x_{30}^{2}=3+x_{29}

Elevamos al cuadrado

\begin{align*}
\left ( x_{30}^{2} \right )^{2}&=\left ( 3+x_{29} \right )^{2}\\
x_{30}^{4}&=9+6x_{29}+x_{29}^{2}
\end{align*}
\therefore x_{30}^{4}-x_{29}^{2}-6x_{29}=9

Respuesta: Clave A

Pregunta 6

Sean a, b que pertenecen a los números naturales tal que:

4\left ( a+b \right )+\left ( a-b \right )^{2}=\left ( a+b \right )^{2}

Calcule el valor de:

a+a^{3}+a^{5}+b^{2}+b^{4}+b^{6}
  • a) 42
  • b) 36
  • c) 126
  • d) 142
  • e) 150

Solución:

Del dato:

\small \cancel{4}\left ( a+b \right )=\underset{identidad\ de\ legendre}{\underbrace{\left ( a+b \right )^{2}-\left ( a-b \right )^{2}=\cancel{4}ab}}
\rightarrow a+b=ab\ /\ a;b\in \mathbb{N}

Solo es posible si a=b=2

Reemplazamos en

\begin{align*}
&\rightarrow 2+2^{3}+2^{5}+2^{2}+2^{4}+2^{6}\\
&\rightarrow 2+8+32+4+16+64=126
\end{align*}

Por lo tanto, el valor de

a+a^{3}+a^{5}+b^{2}+b^{4}+b^{6}=126

Respuesta: Clave C

Pregunta 7

Si:

b=ka\wedge a^{2}+b^{2}=c^{2},

¿Cuál es el valor de:

\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}?
  • a) k2
  • b) k2-1
  • c) k2+1
  • d) k
  • e) 1

Solución:

Del dato:

b=ka\rightarrow \frac{b}{a}=k\rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}}=k^{2}

Además

\small
\begin{align}
\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{\cancel{c^{2}}}{\cancel{c^{2}}}=1
\end{align}

Luego

\frac{b^{2}}{a^{2}}+\underset{(1)}{\underbrace{\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}}}=k^{2}+1

Respuesta: Clave C

Pregunta 8

Calcule el valor de

\frac{\left ( ax+1 \right )\left ( by+1 \right )}{\left ( ax-1 \right )\left ( by-1 \right )}

Considere 1+abxy=0

  • a) 1
  • b) 0
  • c) -1
  • d) a/b
  • e) b/a

Solución:

Trabajando separadamente numerador y denominador.

\tiny
\begin{align*}
\cdot \left ( ax+1 \right )\left ( by+1 \right )&=\underline{abxy}+ax+by+\underline{1}\\
&=ax+by
\end{align*}
\tiny
\begin{align*}
\cdot \left ( ax-1 \right )\left ( by-1 \right )&=\underline{abxy}-ax-by+\underline{1}\\
&=-\left ( ax+by \right )
\end{align*}

Luego, en la parte pedida se tiene:

\small
\frac{\left ( ax+1 \right )\left ( by+1 \right )}{\left ( ax-1 \right )\left ( by-1 \right )}=\frac{\cancel{ax+by}}{-\left ( \cancel{ax+by} \right )}=-1

Respuesta: Clave C

Pregunta 9

Si se cumplen las siguientes condiciones:

\small
\begin{align*}
\text{I.}\ &\left ( x-1 \right )A=x^{2}-1;x\neq 1\\
\text{II.}\ &\left ( x+2 \right )B=x^{2}+4x+4,x\neq -2\\
\text{III.}\ &\left ( x^{2}+x+1 \right )C=x^{3}-1,x\in \mathbb{R}
\end{align*}

Indique lo correcto

  • a) A=B
  • b) B=2C
  • c) B+1=C
  • d) A+1=B
  • e) C+1=B

Solución:

De las condiciones

\tiny
\begin{align*}
\text{I.}&\left ( \cancel{x-1} \right )A=\left ( x+1 \right )\left ( \cancel{x-1} \right )\\ &\rightarrow A=x+1\\
\text{II.}&\left ( \cancel{x+2} \right )B=\left ( x+2 \right )^{\cancel 2}\\&\rightarrow B=x+2\\
\text{III.}&\left ( \cancel{x^{2}+x+1} \right )C=\left ( x-1 \right )\left ( \cancel{x^{2}+x+1} \right )\\&\rightarrow C=x-1
\end{align*}

De I y II se observa que B=A+1

Respuesta: Clave D

Pregunta 10

Si: a+b=4. ¿Cuál es el valor numérico de

\frac{\left ( a+1 \right )\left ( a-1 \right )+\left ( b+1 \right )\left ( b-1 \right )}{7-ab}?
  • a) 0
  • b) 1
  • c) 2
  • d) -1
  • e) 3

Solución:

Lo pedido es equivalente a:

\small
\begin{align}
\tag{1}
\frac{a^{2}-1+b^{2}-1}{7-ab}=\frac{a^{2}+b^{2}-2}{7-ab}
\end{align}

Del dato

a+b=4\rightarrow \left ( a+b \right )^{2}=4^{2}
\rightarrow a^{2}+b^{2}+2ab=16\\
\rightarrow a^{2}+b^{2}=16-2ab

Luego, en (1)

\begin{align*}
\frac{a^{2}+b^{2}-2}{7-ab}&=\frac{16-2ab-2}{7-ab}\\
&=\frac{14-2ab}{7-ab}
\end{align*}
\therefore \frac{2\left ( \cancel{7-ab} \right )}{\left ( \cancel{7-ab} \right )}=2

Respuesta: Clave C

Productos Notables ejercicios resueltos PDF

Como no podía faltar; en esta ocasión te voy a compartir una separata con ejercicios propuestos en formato PDF la resolución la tendrás que hacer tú. Todas las preguntas tienen clave de respuestas. Esto te ayudará a ratificar lo aprendido con este artículo.

Clase completa de productos Notables ejercicios resueltos

Si eres de los que prefiere ver un video para que entiendas mejor los conceptos; aquí te dejo 2 clases que se desarrollaron dentro de la plataforma Matemath.

Clase 1

Clase 2

Productos Notables Ejercicios resueltos – Nivel preuniversitario

Pregunta 11

Halle el equivalente reducido de

\frac{\left ( ax+by \right )^{2}+\left ( ay-bx \right )^{2}}{\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )}
  • a) ab
  • b) xy
  • c) abxy
  • d) -1
  • e) 1

Solución:

Aplicamos la identidad de Lagrange

\tiny
\left ( ax+by \right )^{2}+\left ( ay-bx \right )^{2}\equiv \left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )

y reemplazamos en lo pedido

\frac{\cancel{\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )}}{\cancel{\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )}}=1

Respuesta: Clave E

Pregunta 12

Si:

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{x+y}

determine el valor de:

\sqrt{\frac{x}{y^{3}}}-\frac{2}{x+y};x> 0
  • a) 0
  • b) -1
  • c) 1
  • d) 2
  • e) 1/y

Solución:

Del dato operamos con las fracciones

\frac{y+x}{xy}=\frac{4}{x+y}\rightarrow \left ( x+y \right )^{2}=4xy
\begin{align*}
x^{2}+2xy+y^{2}&=4xy\\
\rightarrow x^{2}-2xy+y^{2}&=0
\end{align*}
\left ( x-y \right )^{2}=0\rightarrow x=y

Luego, lo pedido

\sqrt{\frac{x}{y^{3}}}-\frac{2}{x+y}=\sqrt{\frac{x}{x^{3}}}-\frac{2}{x+x}
\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}-\frac{\cancel 2}{\cancel{2}x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0

ya que x>0

\therefore \sqrt{\frac{x}{y^{3}}}-\frac{2}{x+y}=0

Respuesta: Clave A

Pregunta 13

Sean x; y números reales tales que

x^{2}+2y^{2}+2=2x-2xy.

entonces el valor de

\frac{3xy}{x^{2}+y^{3}}

es?

  • a) -2
  • b) -1
  • c) 1
  • d) 2
  • e) 1/4

Solución:

Para poder resolver este problema debemos recordar lo siguiente:

\small
{\color{Red} a^{2}+b^{2}=0;\ a,b\in \mathbb{R}\leftrightarrow a=0\wedge b=0}

Entonces la idea básica para el problema, vistas las condiciones, será formar una suma de cuadrados igual a cero..

Veamos

Multiplicamos por 2

2x^{2}+4y^{2}+4=4x-4xy

Descomponemos 2x2 como x2+x2 y agrupamos convenientemente

\small
\underset{\left ( x-2 \right )^{2}+\left ( x+2y \right )^{2}=0}{\underbrace{\left ( x^{2}-4x+4 \right )}}+\left ( x^{2}+4xy+4y^{2} \right )=0

Como x e y pertenecen a los reales.

\rightarrow x-2=0\wedge x+2y=0

De donde:

x=2\wedge 2y=-x=-2
\rightarrow y=-1

Luego, lo que nos piden:

\frac{3xy}{x^{2}+y^{3}}=\frac{3\left ( 2 \right )\left ( -1 \right )}{2^{2}+\left ( -1 \right )^{3}}
\therefore \frac{3xy}{x^{2}+y^{3}}=\frac{-6}{3}=-2

Respuesta: Clave A

Pregunta 14

Si se verifica que:

\tiny
\frac{a+b+c}{a+b-c}-\frac{a+b-c}{a+b+c}=\frac{b+c-a}{a+c-b}-\frac{a-b+c}{b+c-a}

determine el valor de:

\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}
  • a) 1/4
  • b) 1/2
  • c) -1/2
  • d) 2
  • e) -2

Solución:

Para que no sea muy tedioso el problema, una vez vistos los datos, hay que agruparlos convenientemente.

\tiny
\frac{\left ( a+b \right )+c}{\left ( a+b \right )-c}-\frac{\left ( a+b \right )-c}{\left ( a+b \right )+c}=\frac{c+\left ( b-a \right )}{c-\left ( b-a \right )}-\frac{c-\left ( b-a \right )}{c+\left ( b-a \right )}

haciendo un cambio de variable

a+b=m; b-a=n; se tiene

\frac{m+c}{m-c}-\frac{m-c}{m+c}=\frac{c+n}{c-n}-\frac{c-n}{c+n}

Entonces:

\tiny
\frac{\left ( m+c \right )^{2}-\left ( m-c \right )^{2}}{\left ( m-c \right )\left ( m+c \right )}=\frac{\left ( c+n \right )^{2}-\left ( c-n \right )^{2}}{\left ( c-n \right )\left ( c+n \right )}
\frac{\cancel{4}m\cancel{c}}{m^{2}-c^{2}}=\frac{\cancel{4}\cancel{c}n}{c^{2}-n^{2}}
\rightarrow \underline{mc^{2}}-\widehat{mn^{2}}=\widehat{m^{2}n}-\underline{nc^{2}}
\small
c^{2}\left ( \cancel{m+n} \right )=mn\left ( \cancel{m+n} \right )\rightarrow c^{2}=mn

Reponiendo m, n

c^{2}=\left ( a+b \right )\left ( b-a \right )=b^{2}-a^{2}

Luego, lo pedido

\begin{align*}
\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}&=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}-\left ( b^{2}-a^{2} \right )}\\
&=\frac{\cancel{a^{2}}}{2\cancel{a^{2}}}
\end{align*}
\therefore \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}=\frac{1}{2}

Pregunta 15

Calcule el equivalente simplificado de:

\tiny
\sqrt[9]{\left ( m^{6}-m^{3}n^{3}+n^{6} \right )\left ( m^{6}-n^{6}\right )\left ( m^{6}+m^{3}n^{3}+n^{6} \right )+n^{18}}
  • a) 0
  • b) m2
  • c) m3
  • d) m6
  • e) n9

Solución:

Para poder dar solución a este ejercicio, debemos recordar los siguientes productos notables:

{\color{Red} \left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )\left (x-y  \right )=x^{3}-y^{3}}\\
{\color{Red} \left ( x^{2}-xy+y^{2} \right )\left ( x+y \right )=x^{3}+y^{3}}

Reemplazamos en el problema:

m^{3}=x,\ n^{3}=y
\tiny
=\sqrt[9]{\left ( x^{2}-xy+y^{2} \right )\left ( \underline{x^{2}-y^{2}} \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )+y^{6}}
\tiny
=\sqrt[9]{\underbrace{\left ( x^{2}-xy+y^{2} \right )\left ( x+y \right )}\underbrace{\left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )}+y^{6}}
=\sqrt[9]{\underbrace{\left ( x^{3}+y^{3} \right )\left ( x^{3}-y^{3} \right )}+y^{6}}
=\sqrt[9]{x^{6}-\cancel{y^{6}}+\cancel{y^{6}}}=\sqrt[3]{x^{2}}

Como x=m3

=\sqrt[\cancel 3]{\left ( m^{\cancel 3} \right )^{2}}=m^{2}

Respuesta: Clave B

Pregunta 16

Si:

n+\frac{1}{n}=1

Calcule el valor de:

\left ( n^{3}-\frac{1}{n^{3}} \right )^{3}
  • a) -1
  • b) 3
  • c) 0
  • d) -2
  • e) 2

Solución:

Para resolver la pregunta, antes necesitamos hallar

n-\frac{1}{n}

Usando la identidad de Legendre tenemos:

\left ( \underset{1}{\underbrace{n+\cancel{\frac{1}{n}}}} \right )^{2}-\left ( n-\frac{1}{n} \right )^{2}=4

Luego

\left ( n-\frac{1}{n} \right )^{2}=-3
\rightarrow n-\frac{1}{n}=\sqrt{3}i

Elevamos al cubo

\left ( n-\frac{1}{n} \right )^{3}=\left ( \sqrt{3}i \right )^{3}
\small
n^{3}-\frac{1}{n^{3}}-3\cancel n\cdot \frac{1}{\cancel n}\underset{\sqrt{3}i}{\underbrace{\left ( n-\frac{1}{n} \right )}}=3\sqrt{3}\cancel{i^{3}}
n^{3}-\frac{1}{n^{3}}-\cancel{3\sqrt{3}i}=-\cancel{3\sqrt{3}i}
\rightarrow n^{3}-\frac{1}{n^{3}}=0
\therefore \left ( n^{3}-\frac{1}{n^{3}} \right )^{3}=0

Respuesta: Clave C

Pregunta 17

Si: xy+xz+xw+yz+yw+zw=0, reduzca M.

\tiny
M=\frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )-\left ( y^{2}+w^{2} \right )\left ( z^{2}+w^{2} \right )}{\left ( x+y+z+w \right )^{2}}
  • a) 1
  • b) x2w2
  • c) x2-w2
  • d) y2+z2
  • e) y2-z2

Solución:

Operando en la fracción

\tiny
\frac{x^{4}+x^{2}z^{2}+y^{2}x^{2}+\cancel{y^{2}z^{2}}-\cancel{y^{2}z^{2}}-y^{2}w^{2}-w^{2}z^{2}-w^{4}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+\underset{0}{\cancel{2\left (xy+xz+xw+yz+yw+zw  \right )}}}

Factorizamos en el numerador

\tiny
=x^{4}+\underline{x^{2}z^{2}}+\overline{y^{2}x^{2}}-\overline{y^{2}w^{2}}-\underline{w^{2}z^{2}}-w^{4}
\small
=\left ( x^{2}+w^{2} \right )\left (\underline{x^{2}-w^{2}}  \right )+z^{2}\left ( \underline{x^{2}-w^{2}} \right )\\+y^{2}\left ( x^{2}-w^{2} \right )
=\left ( x^{2}-w^{2} \right )\left ( x^{2}+w^{2}+z^{2}+y^{2} \right )

Luego, lo pedido

\tiny
\frac{\left ( x^{2}-w^{2} \right )\left ( \cancel{x^{2}+w^{2}+z^{2}+y^{2}} \right )}{\cancel{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}}=x^{2}-w^{2}

Respuesta: Clave C

Pregunta 18

Sabiendo que a; b; c son números reales positivos que cumplen

\small
\frac{1}{a}\left ( b+c \right )+\frac{1}{b}\left ( a+c \right )+\frac{1}{c}\left ( a+b \right )=6

Simplifique la expresión

\frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{a^{3}+b^{3}+abc}
  • a) 1
  • b) 3
  • c) 9
  • d) 1/9
  • e) 1/27

Solución:

Le sumamos miembro a miembro

\left [ \frac{1}{a}\left ( b+c \right )+1 \right ]+\left [ \frac{1}{b}\left ( a+c \right )+1 \right ]\\+\left [ \frac{1}{c}\left ( a+b \right )+1 \right ]=6+3
\left ( \frac{a+b+c}{a} \right )+\left ( \frac{a+b+c}{b} \right )\\+\left ( \frac{a+b+c}{c} \right )=9

Factorizamos a+b+c

\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=9

Luego, lo escribimos como

\small
\underset{MA}{\underbrace{\frac{a+b+c}{3}}}=\underset{MH}{\underbrace{\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}};\ a,b,c\in \mathbb{R}^{+}

Por propiedad:

MA=MH\rightarrow a=b=c

Finalmente, lo pedido

\frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{a^{3}+b^{3}+abc}=\frac{\left ( a+a+a \right )^{3}}{a^{3}+b^{3}+a\cdot a\cdot a}
=\frac{27\cancel{a^{3}}}{3\cancel{a^{3}}}=9

Respuesta: Clave C

Pregunta 19

Si:

r^{4}-r^{2}+1=0

Calcule el valor de:

r^{7}-\frac{1}{r^{7}}

a) i
b) -2i
c) 0
d) 7
e) -7

Solución:

Para esto debes recordar lo siguiente:

{\color{Red} x^{3}+1=\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}-x+1 \right )}

De la propiedad, reemplazamos x=r2

\rightarrow r^{6}+1=\left ( r^{2}+1 \right )\underset{0}{\underbrace{\left (r^{4}-r^{2}+1  \right )}}
\rightarrow r^{6}=-1

Nos piden

\cancel{r^{6}}\cdot r-\frac{1}{\cancel{r^{6}}\cdot r}=-r-\frac{1}{-r}\\=-\left ( r-\frac{1}{r} \right )

Del dato

r^{4}-r^{2}+1=0\rightarrow r^{4}+1\\=r^{2}\rightarrow r^{2}+\frac{1}{r^{2}}=1

Restando 2

\small
\underbrace{r^{2}-2+\frac{1}{r^{2}}}=-1\rightarrow \left ( r-\frac{1}{2} \right )^{2}=-1
\rightarrow r-\frac{1}{r}=\pm \sqrt{-1}=\pm i

Por lo tanto, un valor de

r-\frac{1}{r}=i

Respuesta: Clave A

Pregunta 20

A partir de

\begin{align*}
\text{I}&.\ x+y+z=1;\\
\text{II}&.\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=0;\\
\text{III}&.\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=1,
\end{align*}

Determine el valor de

\frac{4}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}

a) 1/33
b) 2/33
c) 4/33
d) 16/33
e) 64/33

Solución:

A partir del dato (II) del enunciado

\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}=9^{2}
\tiny
\begin{align}
\tag {1}
\rightarrow x^{4}+y^{4}+z^{4}+2\underset{(*)}{\underbrace{\left ( x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2} \right )}}=81
\end{align}

Busquemos (*)

De

\tiny
\underset{1}{\underbrace{\left ( x+y+z \right )^{2}}}=\underset{9}{\underbrace{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+2\left ( xy+xz+yz \right )
\rightarrow 2\left ( xy+xz+yz \right )=-8
\rightarrow xy+xz+yz=-4

Nuevamente elevamos al cuadrado

\left ( xy+xz+yz \right )^{2}=\left ( -4 \right )^{2}
\tiny
\begin{align}
\tag {2}
x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}+2\underset{(**)}{\underbrace{xyz}}\underset{1}{\underbrace{\left (x+y+z  \right )}}=16
\end{align}

Busquemos (**)

De la identidad de Karl Gauss y usando los datos tenemos

\underset{1}{\underbrace{x^{3}+y^{3}+z^{3}}}-3xyz=
\tiny=\underset{1}{\underbrace{x+y+z}}\left [ \underset{9}{\underbrace{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}-\underset{-4}{\underbrace{\left ( xy+xz+yz \right )}} \right ]

Por lo tanto

1-3xyz=1\left [ 9-\left ( -4 \right ) \right ]=13
\rightarrow -12=3xyz\rightarrow xyz=-4

En (2)

x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}+2\left ( -4 \right )=16
\rightarrow x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}=24

En (1)

x^{4}+y^{4}+z^{4}+2\left ( 24 \right )=81\\
\rightarrow x^{4}+y^{4}+z^{4}=33
\therefore \frac{4}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}=\frac{4}{33}

Respuesta: Clave C

Conclusiones

Y con estos 32 ejercicios esperamos haberte podido ayudar en tu aprendizaje de Productos Notables Ejercicios.

Como siempre, es importante resaltar que todo tema de álgebra parte de las leyes de exponentes, teoría fundamental dentro del curso. No olvides practicar con los ejercicios que te acabamos de dejar.

Deja un comentario