Sistemas de numeración

En este artículo vamos a desarrollar 20 ejercicios de nivel pre universitario del tema sistemas de numeración. Necesitas antes, tener los conocimientos previos de la parte teórica para que todo lo puedas digerir muy bien.

Si ya te vienes preparando para postular a la universidad, estos problemitas te caerán como anillo al dedo.

Sistemas de numeración ejercicios

Aquí he preparado los primeros ejemplos del tema «Sistemas de numeración decimal» de la materia de aritmética, analízalos con calma y mira la solución establecida paso a paso.

Pregunta 1

Se desea repartir un millón de dólares entre cierto número de personas, de manera que les corresponda: $1; $8; $64; $512; etc., con la condición de que no más de 7 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas fueron beneficiadas?

Solución:

Las cantidades que recibirán: 1; 8; 64; 512; son las mismas que: 80; 81; 82; 83; …

Y como no más de 7 personas recibirán la misma suma, el millón de dólares se escribe en base 8.

Se tiene: 1 000 000 = 3641100(8)

Ahora, si descomponemos polinómicamente el número:

\small
3641100_{(8)}=3\times 8^{6}+6\times 8^{5}+4\times 8^{4}\\+1\times 8^{3}+1\times 8^{2}

Resuelta entonces que:

  • 3 personas recibirán $86
  • 6 personas recibirán $85
  • 4 personas recibirán $84
  • 1 persona recibirá $83
  • 1 persona recibirá $ 82

Luego, las personas beneficiadas son:
3 + 6 + 4 + 1 + 1 = 15
(Suma de las cifras del número de la base 8)

Por lo tanto: Se beneficiaran 15 personas

Pregunta 2

Sabiendo que: 17 668 = 4a + 4b + 4c + 4d;
hallar el valor de: a + b + c + d

Solución:

Como en el segundo miembro se tiene la suma de potencias de 4, se escribe el número 17 668 a base 4.

\footnotesize
17668=\underset{4^{7}}{\underbrace{1}}\underset{4^{6}}{\underbrace{0}}\underset{4^{5}}{\underbrace{1}}\underset{4^{4}}{\underbrace{1}}\underset{4^{3}}{\underbrace{0}}\underset{4^{2}}{\underbrace{0}}\underset{4^{1}}{\underbrace{1}}\underset{1}{\underbrace{0}}

En la descomposición:

17668 = 47 + 45 + 44 + 41

Entonces:
a = 7; b = 5; c = 4; d = 1

Por lo tanto: a + b + c + d = 17

Pregunta 3

Sabiendo que el numeral abc del sistema heptanario, se escribe como cba en el sistema nonario. Hallar el número en el sistema decimal.

Solución:

Se tiene:

\overline{abc}_{(7)}=\overline{cba}_{(9)}

Vemos que: a, b y c son menores que 7.
49a + 7b + c = 81c + 9b + a

Entonces: 48a – 80c = 2b

Reduciendo y factoriazando tenemos:

8\underset{0}{\underbrace{\left ( 3a-5c \right )}}=\underset{0}{\underbrace{b}}

Entonces: 3a = 5c

Por lo tanto, a = 5; c = 3

El número es: 503(7) = 305(9)

En base decimal sería: 248

Pregunta 4

Si el numeral 4a53(n) se escribe en base 8 como 2b44(8), hallar: a + b + n.

Solución:

Tenemos que:

\underset{\text{numeral par}}{\underbrace{\overline{4a53}_{(n)}}}=\underset{\text{numeral par}}{\underbrace{\overline{2b44}_{(8)}}}

Vemos que: 5 < n < 8

Como el numeral es par, entonces: n = 7

Luego:

\small
\begin{align*}
&\overline{4a53}_{(n)}=4\times 7^{3}+a\times 7^{2}+5\times 7^{1}+3\\
&\overline{2b44}_{(8)}=2\times 8^{3}+b\times 8^{2}+4\times 8^{1}+4
\end{align*}

Igualando la descomposición y reduciendo se tiene:

\overset{\text{multiplo de 7}}{\overbrace{350+49\left ( a \right )}}=64\left ( b \right )

Entonces b = 7; luego a = 2

Por lo tanto: a + b + n = 16

Pregunta 5

Sabiendo que:

H=\left \{ n/3421_{(5)}=\overline{xyz}_{(n)} \right \}

¿Cuántos elementos tiene H?

Solución:

Hallamos, en cuántos sistemas de numeración, el número 3421(5) se escribirá con 3 cifras.

Para que el número tenga tres cifras, se cumple:

100_{(n)}\leq 3421_{(5)}< 1000_{(n)}

En base decimal:

n^{2}\leq 486< n^{3}

Los valores que simultáneamente cumple “n” en la desigualdad: n = {8; 9; 10; …; 22}

Entonces «n» tiene 15 valores

Por lo tanto: El conjunto H tiene 15 elementos.

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Pregunta 6

Al escribir el numeral 1464(n) a la base “n+1”, ¿Cuál es la cifra de menor orden?

Solución:

Descomponiendo polinomicamente, formamos la ecuación (1):

\small
1464_{\left ( n \right )}=1\left ( n^{3} \right )+4\left ( n^{2} \right )+6\left ( n \right )+4

Hacemos:

n + 1 = x; entonces: n = x – 1

En (1)

1464_{\left ( n \right )}=\left ( x-1 \right )^{3}+4\left ( a-1 \right )^{2}+\\+6\left ( x-1 \right )+4
\begin{align*}
&1464_{\left ( n \right )}=x^{3}+x^{2}+x-3\\
&1464_{\left ( n \right )}=\overline{111\left ( -3 \right )}_{\left ( x \right )}
\end{align*}

Corregimos la cifra (-3)

sistemas de numeracion ejemplos

El numeral en base «n+1»:

\overline{110\left ( n-2 \right )}_{\left ( n+1 \right )}

Por lo tanto:
La cifra de menor orden es n – 2

Pregunta 7

Si el numeral:

\tiny
\overline{\left ( 5-a \right )\left ( b+2 \right )\left ( a+b \right )\left ( n-1 \right )\left ( 8-b \right )\left ( a+1 \right )}_{\left ( n \right )}

es capicúa, hallar el valor de a + b + n

Solución:

Las cifras equidistantes de un número capicúa son iguales.

Luego:

• 5 – a = a + 1; entonces a = 2
• b + 2 = 8 – b; entonces b = 3
• a + b = n – 1; entonces 2 + 3 = n – 1; y se obtiene que n = 6

Por lo tanto: a + b + n = 11

Pregunta 8

Sabiendo que:

\scriptsize
\overline{\left ( n-1 \right )\left ( 4-n \right )\left ( n^{2} \right )\left ( \frac{n+5}{2} \right )}=\overline{\left ( 2a \right )aaa}_{\left ( b \right )}

Hallar: a + b + n

Solución:

Del numeral:

\overline{\left ( n-1 \right )\left ( 4-n \right )\left ( n^{2} \right )\left ( \frac{n+5}{2} \right )}

escrito en base decimal, se cumple:

n – 1 > 0; entonces n >1

y también que:

\begin{align*}
4-n&\geq 0\\
4&\geq n
\end{align*}

Entonces:

1< n\leq 4\Rightarrow n=\left \{ 2;3;4 \right \}

Pero:

n^{2}\leq 9\ \text{y}\ \left ( \frac{n+5}{2} \right )\in \mathbb{N}

Esto solo cumple con n = 3

Reemplazando:

\scriptsize
2194=\overline{\left ( 2a \right )aaa}_{\left ( b \right )}\Rightarrow 2194=a\left ( 2111_{\left ( b \right )} \right )

Descomponiendo polinomicamente:

2\left ( 1097 \right )=a\left ( 2b^{3}+b^{2}+b+1 \right )

Igualando factores:

a = 2; entonces: 2b3 + b2 + b + 1 = 1097

Entonces: b = 8

Por lo tanto: a + b + n = 13

Pregunta 9

El menor número de cuatro cifras diferentes, de la base “n”, excede al mayor número de dos cifras diferentes de dicha base “n” en 469. Dar el valor de “n”.

Solución:

Menor número de 4 cifras diferentes: 1023(n)

El mayor número de 2 cifras diferentes es:

\overline{\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )}_{\left ( n \right )}

Por dato:

1023_{\left ( n \right )}-\overline{\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )}_{\left ( n \right )}=469

Descomponiendo polinomicamente:

\small
\begin{align*}
n^{3}+2n+3-n^{2}+n-n+2&=469\\
n^{3}-n^{2}+2n+5&=469\\
n&=8
\end{align*}

Por lo tanto: El valor de n es 8

Pregunta 10

Dado:

\footnotesize
\overline{12a}_{\left ( b \right )}+\overline{2b3}_{\left ( c \right )}+\overline{215}_{\left ( a \right )}+\overline{20c}_{\left ( d \right )}=\overline{e0d}

Calcular: a + b + c + d + e

Solución:

De:

\footnotesize
\overline{12a}_{\left ( b \right )}+\overline{2b3}_{\left ( c \right )}+\overline{215}_{\left ( a \right )}+\overline{20c}_{\left ( d \right )}=\overline{e0d}

Se deduce que:

a < b; b < c; 5 < a; c < d; d < 10

Ordenamos las desigualdades:

5 < a < b < c < d < 10

Entonces se tiene que:

a = 6; b = 7; c = 8; d = 9

Reemplazamos y hallamos el valor de «e»

\footnotesize
126_{\left ( 7 \right )}+273_{\left ( 8 \right )}+215_{\left ( 6 \right )}+208_{\left ( 9 \right )}=\overline{e09}

A base decimal:

\begin{align*}
69+187+83+170=\overline{e09}\\
509=\overline{e09}
\end{align*}

Entonces e = 5

Por lo tanto: a + b + c + d + e = 35

Pregunta 11

Sabiendo que:

\overline{36ab}=\overline{3ab}\times 4+\overline{ab3}\times 5

Hallar: a + b

Solución:

Descomponiendo en bloques:

\footnotesize
\begin{align*}
3600+\overline{ab}&=\left ( 300+\overline{ab} \right )4+\left ( \overline{ab0}+3 \right )5\\
3600+\overline{ab}&=1200+4\times \overline{ab}+50\times \overline{ab}+15\\
2385&=53\times \overline{ab}\\
\overline{ab}&=45
\end{align*}

Por lo tanto: a + b = 9

Pregunta 12

Hallar el número entero comprendido entre 300 y 400, tal que el triple de su exceso sobre 100, es igual al exceso del número que resulta de invertir el orden de sus cifras sobre 2.

Solución:

Por dato:

300< n< 400\Rightarrow n=\overline{3ab}

Además:

3\left ( \overline{3ab}-100 \right )=\overline{ba3}-2

Descomponiendo polinomicamente:

\scriptsize
\begin{align*}
3\left ( 300+10a+b-100 \right )&=100b+10a+3-2\\
900+30a+3b-300&=100b+10a+1
\end{align*}

Reduciendo:

599 + 20(a) = 97(b)

entonces: a = 4; b = 7

Por lo tanto: El número es 347

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Pregunta 13

Sabiendo que:

\footnotesize
\underset{60\ \text{cifras}}{\underbrace{\overline{123123\cdots _{\left ( n \right )}}}}=\underset{20\ \text{cifras}}{\underbrace{\overline{\left ( 8n+3 \right )\left ( 8n+3 \right )\cdots }_{\left ( k \right )}}}

Hallar n + k

Solución:

Se tiene que:

\footnotesize
\underset{60\ \text{cifras}}{\underbrace{\overline{123123\cdots _{\left ( n \right )}}}}=\underset{20\ \text{cifras}}{\underbrace{\overline{\left ( 8n+3 \right )\left ( 8n+3 \right )\cdots }_{\left ( k \right )}}}

Descomponiendo en bloques:

123_{\left ( n \right )}\underset{58\ \text{cifras}}{\left [ \underbrace{1001001\cdots 1001_{\left ( n \right )}} \right ]}=\\=\left ( 8n+3 \right )\underset{20\ \text{cifras}}{\underbrace{\left ( 111\cdots 1_{\left ( k \right )} \right )}}

Descomponiendo polinomicamente:

\footnotesize
\left ( n^{2}+2n+3 \right )\left ( n^{57}+n^{54}+\cdots +n^{3}+1 \right )\\=\left ( 8n+3 \right )\left ( k^{19}+k^{18}+\cdots +k+1 \right )

Reducimos la expresión como cocientes notables:

\left ( n^{2}+2n+3 \right )\left [ \frac{\left ( n^{3} \right )^{20}-1}{n^{3}-1} \right ]=\\=\left ( 8n+3 \right )\left [ \frac{k^{20}-1}{k-1} \right ]

De donde se deduce que:

k=n3 y n2 + 2n + 3 = 8n + 3

Entonces: n = 6; k = 63 = 216

Por lo tanto: k + n = 222

Pregunta 14

Si un número de cierta base se convierte a las 2 bases siguientes se escribe como 1134 y 541 respectivamente. ¿Cómo se escribe en la base anterior?

Solución:

De la base “n” se escribe en las bases “n + 1 ” y «n + 2” como 1134 y 541.

Luego:

1134_{\left ( n+1 \right )}=541_{\left ( n+2 \right )}

Descomponiendo polinomicamente:

1\left ( n+1 \right )^{3}+1\left ( n+1 \right )^{2}+3\left ( n+1 \right )\\+4=5\left ( n+2 \right )^{2}+4\left ( n+2 \right )+1

Efectuando y reduciendo:

\begin{align*}
n^{3}-n^{2}-16n-20=0\\
n=5
\end{align*}

Reemplazando:

1134(6) = 541(7)

Escribimos el numeral en base 4: 10102(4)

Por lo tanto: Se escribe como 10102(4)

Pregunta 15

Un cierto número de cifras significativas en el sistema binario se escribe en el sistema decimal como 8abc. Calcular el valor de: a + b + c.

Solución:

Número de cifras significativas en base 2:

\underset{"n"\ \text{cifras}}{\underbrace{11\cdots 11_{\left ( 2 \right )}}}

Por dato:

\underset{"n"\ \text{cifras}}{\underbrace{11\cdots 11_{\left ( 2 \right )}}}=\overline{8abc}

En base 10:

2^{n}-1=\overline{8abc}\rightarrow n=13

Reemplazando:

2^{13}-1=\overline{8abc}

Efectuando:

8191=\overline{8abc}

Entonces: a = 1; b = 9; c = 1

Por lo tanto: a + b + c = 11

Pregunta 16

Hallar el valor de «n», si:

\overline{a2b6}_{\left (c \right )}=\overline{2c\left ( c-4 \right )1}_{\left ( 8 \right )}

Además:

\overline{\left ( a-3 \right )b}_{\left (\overline{1a}  \right )_{\left ( \overline{1b} \right )_{\left ( \overline{1c} \right )_{n}}}}=28

Solución:

De:

\overline{a2b6}_{\left (c \right )}=\overline{2c\left ( c-4 \right )1}_{\left ( 8 \right )}

Vemos que: 6 < c y c < 8; entonces: c = 7

Luego:

\overline{a2b6}_{\left ( 7 \right )}=2731_{\left ( 8 \right )}

A base 7 tenemos:

\overline{a2b67}_{\left ( 7 \right )}=4236_{\left ( 7 \right )}

Entonces: a = 4 y b = 3

Reemplazando:

13_{14_{13_{17_{n}}}}=28

Efectuando:

n + 7 + 3 + 4 + 3 =28

Por lo tanto: n = 11

Pregunta 17

¿Cuántas cifras “ceros” tiene la expresión:

N=3^{17}+3^{10}+3^{6}+3+1

al ser expresado en el sistema ternario?

Solución:

Expresando cada sumando en base 3.

3^{17}=\underset{17\ \text{ceros}}{\underbrace{10\cdots 0000\cdots 00_{\left ( 3 \right )}}}
3^{10}=\underset{10\ \text{ceros}}{\underbrace{10\cdots 0000\cdots 00_{\left ( 3 \right )}}}
3^{6}=\underset{6\ \text{ceros}}{\underbrace{10\cdots 00_{\left ( 3 \right )}}}
3^{1}=10_{\left ( 3 \right )}

Sumando:

N=1\underset{6}{\underbrace{000000}}1\underset{3}{\underbrace{000}}1\underset{4}{\underbrace{0000}}11_{\left ( 3 \right )}

Por lo tanto: Son 13 cifras «ceros»

Pregunta 18

Sabiendo que:

\small
\overline{\underset{"K"\ \text{cifras}}{\underbrace{\left ( n-1 \right )\left ( n-1 \right )\cdots \left ( n-1 \right )}}}_{\left ( n \right )}=\overline{1xy7}

hallar: x + y + n + k

Solución:

De:

\small
\overline{\underset{"K"\ \text{cifras}}{\underbrace{\left ( n-1 \right )\left ( n-1 \right )\cdots \left ( n-1 \right )}}}_{\left ( n \right )}=\overline{1xy7}
\scriptsize
n^{k}-1=\overline{1xy7}\Rightarrow n^{k}=\overline{1xy8}\Rightarrow 12^{3}=1728

Entonces: n = 12; k = 3; x = 7; y = 2

Por lo tanto: n + k + x + y =24

Sistemas de numeración pdf

Aquí como en todos mis artículos te dejo un enlace, para que puedas descargarte una separata del tema Sistemas de numeración en formato pdf. Son ejercicios propuestos que tu podrás resolver con el fin de adquirir destreza y habilidad.

Todos tienen claves de respuesta, de esta manera sabrás si lo que hiciste está bien hecho.

No olvides que de necesitar el desarrollo de ejercicios; de un tema concreto, puedes dejarme tus comentarios y con gusto lo trabajaré.

Eso es todo por hoy.

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