Teoría de conjuntos ejercicios

Y abrimos nuestro primer artículo de aritmética donde vamos a resolver y destripar la Teoría de conjuntos ejercicios resueltos. Todos enfocados de una manera práctica y al grano, si lo que quieres es ver la solución de una amplia gama de problemas, estás en el artículo correcto.

Teoría de conjuntos ejercicios resueltos

Todos estos problemas, irán avanzando en intensidad, empezaremos con cosas «suaves» aplicando conceptos teóricos y después a lo duro, las fijas para tu exámenes de admisión.

Pregunta 1

Sea:

\scriptsize
M=\left \{ \left ( \frac{x^{2}+1}{2} \right )\in \mathbb{Z}/x\in \mathbb{Z}\wedge -7\leq x\leq 9 \right \}

Indicar la suma de los valores de M.

Solución:

Como:

x\in \mathbb{Z}\wedge -7\leq x\leq 9

Los valores de x serán:

x = { – 7; – 6; … ; 8 ; 9 }

Para que la expresión:

\left ( \frac{x^{2}+1}{2} \right )

sea un número entero, los valores de x son: -7 ; -5 ; -3 ; … ; 7; 9
(solo números impares).

Reemplazando cada uno de los valores de x, los elementos diferentes de M, son:
M ={25: 13; 5; 1; 41}

\scriptsize
\sum \text{elementos}=25+13+5+1+41=85

Pregunta 2

Determinar por comprensión el siguiente conjunto:

D=\left \{ \frac{4}{7};\frac{9}{12};\frac{16}{19};\frac{25}{28};\cdots ;\frac{400}{403} \right \}

Solución:

Los elementos en forma equivalente:

\footnotesize
\left \{ \frac{2^{2}}{2^{2}+3};\frac{3^{2}}{3^{2}+3};\frac{4^{2}}{4^{2}+3};\cdots ;\frac{20^{2}}{20^{2}+3} \right \}

Por lo tanto, el conjunto D, por comprensión, es:

\scriptsize
D=\left \{ \left ( \frac{x^{2}}{x^{2}+3} \right )/x\in \mathbb{Z}\wedge 2\leq x\leq 20 \right \}

Pregunta 3

Se define la operación “*” entre conjuntos:

A\ast B=\bar{A}\cap B

Si:

\begin{align*}
U&=\left \{ x\in \mathbb{Z}/-2\leq x\leq 2 \right \},\\ &\text{conjunto universal}\\
M&=\left \{ \left ( x-2 \right )/3< x\leq 4,x\in \mathbb{Z} \right \}\\
N&=\left \{ x\in \mathbb{Z}/1\leq x+2\leq 3 \right \}\\
P&=\phi 
\end{align*}

Hallar: P*(M*N)

Solución:

Los elementos de cada conjunto sería:

\begin{align*}
&U=\left \{ -2;-1;0;1;2 \right \}\\
&M=\left \{ 2 \right \}\\
&N=\left \{ -1;0;1 \right \}\\
&P=\phi
\end{align*}

La operación:

A\ast B=\bar{A}\cap B=B-A

Luego:

M\ast N=N-M=N

Finalmente:

P\ast \left ( M\ast N \right )=N-P=N

Por lo tanto, resulta: N.

Pregunta 4

¿Cuántos tipos de jugo surtido se pueden preparar, si se dispone de 6 clases de fruta?

Solución:

Sea el conjunto que contiene 6 clases de fruta:

F=\left \{ f_{1},f_{2},\cdots ,f_{6} \right \}\rightarrow n\left ( F \right )=6

Hallamos el total de jugos surtidos, encontrando el número de subconjuntos de F

2^{6}-\underset{\phi }{\underbrace{1}}-\underset{Unitario}{\underbrace{6}}=57

Por lo tanto, son 57 tipos de jugo surtido.

Pregunta 5

Se tiene “n” pinturas de “n” colores básicos y se desea obtener 1013 nuevos tonos, combinando partes iguales de 2; 3; 4; 5;…; n colores. Hallar “n”.

Solución:

Con «n» colores básicos, la cantidad de nuevos tonos, son:

2^{n}-\underset{\phi }{\underbrace{1}}-\underset{unitario}{\underbrace{n}}

Por dato:

\begin{align*}
&2^{n}-1-n=1013\\
&2^{n}-n=1014=2^{10}-10
\end{align*}

Por lo tanto: n = 10

Pregunta 6

Un conjunto P tiene “n» elementos y un conjunto Q que tiene “2n» elementos, origina 992 subconjuntos más que P. ¿Cuántos subconjuntos tiene el complemento de P, si se sabe que “P n Q» tiene 3 elementos y que el complemento de Q tiene 64 subconjuntos?

Solución:

Por datos: n(P) = n; n(Q) = 2n

También: subc. Q – subc. P = 992

\small
\begin{align*}
&2^{2n}-2^{n}=992\\
&2^{n}\left ( 2^{n}-1 \right )=32\left ( 31 \right )=2^{5}\left ( 2^{5}-1 \right )
\end{align*}

Entonces n es igual a 5

Se tiene ahora que: n(P) = 5 y n(Q) = 10

Además:

{Q}'=64=2^{6}

Entonces, n(Q’)=6

Luego:

teoria de conjuntos ejercicios pregunta 7

Vemos que: n(P’) = 11

Por lo tanto: P’ tiene 211 = 2048 subconjuntos.

Pregunta 7

Dados los conjuntos:
A = {2; 3; 5; 6; 8}; B = {0; 1; 2; 4; 5; 7: 9}
Si “m” es el número de subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos con B y “n” el número de subconjuntos no vacíos de B que son disjuntos con A.
Hallar: m + n.

Solución:

Subconjuntos no vacíos de A, disjuntos con B: A – B = {3; 6; 8}

\Rightarrow m=2^{3}-1=7\ \text{subconjuntos}

Subconjuntos no vacíos de B, disjuntos con A: B — A = {0; 1; 4; 7; 9}

\Rightarrow n=2^{5}-1=31\ \text{subconjuntos}

Por lo tanto: m + n = 38

Pregunta 8

Dados los conjuntos:

\begin{align*}
A&=\left \{ 2^{n};m^{2}-5 \right \};\\
B&=\left \{ 2^{n}+3;5^{n} \right \};\\
C&=\left \{ x\in \mathbb{N}/n < x < m+n \right \}
\end{align*}

Siendo: A = B y m > n

¿Qué podemos afirmar del conjunto C?

a) Es un conjunto vacío
b) Es un conjunto singletón
c) El cardinal es 2
d) El cardinal es 3
e) No se puede afirmar nada

Solución:

Como A es igual a B. Tenemos que:

2^{n}=5^{n}\Rightarrow n=0

Por lo tanto:

m^{2}-5=2^{0}+3\Rightarrow m^{2}=9\\
\Rightarrow m=\pm 3

De:

C=\left \{ x\in \mathbb{N}/n < x < m+n \right \}
C=\left \{ x\in \mathbb{N}/0 < x<3 \right \}=\left \{ 1;2 \right \}

Por lo tanto: n(C) = 2

Pregunta 9

Dados los conjuntos A, B y C subconjuntos del conjunto de los números naturales:

\begin{align*}
A&=\left \{ 2x/x\in \mathbb{N},x < 6 \right \};\\
B&=\left \{ \frac{y+4}{2}/y\in A \right \};\\
C&=\left \{ \frac{2m+1}{3}/m\in B \right \}
\end{align*}

¿Cuántos elementos tiene C?

Solución:

De:

A=\left \{ 2x/x\in \mathbb{N},x < 6 \right \}

Los valores de x: x = {1; 2; … ; 5}

Los elementos de A: A = {2; 4; 6; 8; 10}

Hallamos B, si:

y\in A:\ y=\left \{ 2;4;6;8;10 \right \}

Hallamos los elementos de B:
B = {3; 4; 5; 6; 7}

Hallamos C, si:

m\in B:\ m=\left \{ 3;4;5;6;7 \right \}

Los valor de m que hacen: (2m+1)/3 un número natural:
m={4; 7}

Luego, los elementos de C:
C = {3; 5}

Por lo tanto: n(C) = 2

Pregunta 10

Sean a, b y c números enteros tales que:
k = a + b + c.

Si:

\scriptsize
\left \{ a^{2}+9;b-c-5 \right \}=\left \{ -1;-6a;a^{2}+b^{2}-7 \right \}

hallar la suma de todos los valores de k.

Solución:

De la igualdad de conjuntos, tenemos:

a^{2}+9=-6a\rightarrow a^{2}+6a+9=0\\
\left ( a+3 \right )^{2}=0\rightarrow a=-3
a^{2}+9=a^{2}+b^{2}-7\\
16=b^{2}\rightarrow b=\pm 4
b-c-5=-1\\
\rightarrow b-c=4

Si: b = 4, entonces 4 – c = 4, se tiene c = 0

SI: b = – 4, entonces – 4 – c = 4 se tiene c = – 8

Luego, las soluciones de:

i) a = – 3 ; b = 4 ; c = 0 entonces
k1 = – 3 + 4 + 0 = 1

ii) a = – 3 ; b = – 4 ; c = – 8 entonces
k2 = – 3 – 4 – 8 = -15

Por lo tanto:
Suma de valores de k: 1 – 15 = -14

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Pregunta 11

Dados los conjuntos:

\begin{align*}
A&=\left \{ x\in \mathbb{N}/1\leq x < 6 \right \};\\
B&=\left \{ -2;-1;0;5;6 \right \}
\end{align*}

Hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

\begin{align*}
I.&\ \forall x\in A;\exists y\in B/x+y < 3\\
II.&\ \exists y\in B;\forall x\in A/x-y>1\\
III.&\ \forall x\in B;\exists y\in A,\ \text{si se cumple:}\\&\ x < y\rightarrow x^{2} < y^{2}\\
IV.&\ \exists x\in A,\exists y\in B/\left ( x-y \right )\in A.
\end{align*}

Solución:

Convirtiendo el conjunto A por extensión, se tiene:

A = {1; 2; 3; 4; 5};
B = { – 2 ; – 1 ; 0; 5; 6}

Analizando los valores de verdad:

I.\ \forall x\in A;\exists y\in B/x+y < 3

Es Falsa

El único y que pertenece a B es -2; no cumple con todos los de A.

II.\ \exists y\in B;\forall x\in A/x-y>1

Es Verdadera

Al menos y = -1 pertenece a B, cumple con todos los de A.

III.\ \forall x\in B;\exists y\in A,\ \text{si se cumple:}\\\ x < y\rightarrow x^{2} < y^{2}

Es Falsa

No todos los valores de x que pertenecen a B cumplen (36 < 25)

IV.\ \exists x\in A,\exists y\in B/\left ( x-y \right )\in A.

Es Verdadera

Si: x = 4: y = -1 entonces x – y = 5 que pertenece a A

Por la tanto: La respuesta es FVFV

Pregunta 12

Los conjuntos A y B están incluidos en un conjunto universal de 12 elementos, cumpliéndose que:
n[P(A)’] = 128 y n[P(B – A)] = 16.
¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto A?

Solución:

Formamos la ecuación (1):

\small
n\left [ P\left ( A' \right ) \right ]=128=2^{7}\rightarrow n\left ( A' \right )=7

Formamos la ecuación (2)

n\left [ P\left ( B-A \right ) \right ]=16=2^{4}\\\rightarrow n\left ( B-A \right )=4

De (1) y (2)

teoria de conjuntos ejercicios pregunta 12

Por lo tanto:
Número de subconjuntos de A = 25 = 32

Pregunta 13

En una ciudad el 40% de la población fuma, el 35% de la población bebe y el 70% de los que fuman, beben. ¿Qué porcentaje de la población no fuma ni bebe?

Solución:

Sea 100 el total de la población:

Fuman: n(F) = 40;
Beben: n(B) = 35

Fuman y beben:

n\left ( F\cap B \right )=70\% \left ( 40 \right )=28

Fuman o beben:

n\left ( F\cup B \right )=40+35-28=47

No fuman ni beben:

n\left ( F\cup B \right )'=100-47=53

Por lo tanto:
El 53% de la población no fuma ni bebe.

Pregunta 14

En una reunión se observa que el 70% de las personas hablan castellano, 120 inglés; y el 10% de las personas hablan inglés y castellano. ¿Cuántas personas hablan solamente castellano?

Solución:

Sea 100 el total de personas. (Falsa suposición)

Hablan castellano: n(C) = 70
Hablan inglés: n(l) = ?
Hablan inglés y castellano: n(l n C) = 10

Pero:

n\left ( I\cup C \right )=100\rightarrow n\left ( I \right )+n\left ( C \right )\\
-n\left ( I\cap C \right )=100\\

Entonces deducimos que:

\small
n\left ( I \right )+70-10=100\rightarrow n\left ( I \right )=40

Hablan solo castellano: n(C – I) = 60

Comparando:

teoria de conjuntos ejercicios pregunta 13
\Rightarrow \frac{120\left ( 60 \right )}{40}=180

Por lo tanto:
180 personas hablan solamente castellano.

Pregunta 15

Sean M, N y P tres conjuntos contenidos en un universo finito de 60 elementos. Si: (M – N) U (P – N) tiene 40 elementos; el conjunto M – (N U P) tiene 10 elementos; la intersección de los tres conjuntos tiene 5 elementos; el conjunto (N n P) – M es vacío. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene:

M^{C}\cap N^{C}\cap P^{C}

si N – P tiene 5 elementos?

Solución:

Haciendo el diagrama de Euler:

teoria de conjuntos ejercicios pregunta 15

Vemos que: n(M U N U P)c = 50

Pero:

M^{C}\cap N^{C}\cap P^{C}=\left ( M\cup N\cup P \right )^{C}

Según la ley de Morgan

Entonces:

n\left ( M\cup N\cup P \right )^{C}=60-50=10

Por lo tanto:
La cantidad de subconjuntos propios:
210 – 1 = 2023

Pregunta 16

Se rindió 3 exámenes para aprobar un curso y se observó lo siguiente: el número de los que aprobaron los 3 exámenes es igual al número de los que desaprobaron los 3 exámenes e igual a 1/3 de los que aprobaron solo 2 exámenes e igual a 1/5 de los que aprobaron solo un examen. ¿Qué porcentaje del total de los alumnos aprobaron el curso, si para aprobarlo es necesario que aprueben por lo menos 2 exámenes?

Solución:

Sea 100 el total de alumnos:

hacemos la siguiente gráfica:

teoria de conjuntos ejercicios

Aprobaron exactamente dos exámenes
d + e + f = 3x

Aprobaron exactamente un examen:
a + b + c= 5x

Además:

\underset{5x}{\underbrace{a+b+c}}+\underset{3x}{\underbrace{d+e+f}}+2x=100

Entonces: 5x + 3x + 2x = 100

Resulta: x = 10

Aprobaron por lo menos 2 cursos:

\underset{3x}{\underbrace{d+e+f}}+x=4\underset{10}{\underbrace{x}}=40

Por lo tanto:
El 40% aprobó al menos 2 cursos.

Pregunta 17

Nathaly comenta: “El 70% de los profesores son simpáticos, el 70% son excelentes y el 70% son jóvenes”. ¿Cuál es, como mínimo, el porcentaje de profesores simpáticos, excelentes y jóvenes?

Solución:

Sea 100 el número de profesores, tal que:

Profesores simpáticos (S): n(S) = 70
Profesores excelentes (E): n(E) = 70
Profesores jóvenes (J): n(J) = 70

Hallamos el número de profesores que tienen dos de las cualidades mencionadas:

\begin{align*}
&n\left ( S\cap E \right )=70+70-100=40\\
&n\left ( S\cap J \right )=70+70-100=40\\
&n\left ( E\cap J \right )=70+70-100=40
\end{align*}

Haciendo un diagrama:

diagrama de venn euler

Sea x, el menor número de profesores que tienen las 3 cualidades, entonces:

(40 – x)3 + x = 100 entonces x = 10

Por lo tanto:
El % mínimo de profesores simpáticos, excelentes y jóvenes es 10%.

Pregunta 18

En un censo se determinó que: el 60% de los niños de una ciudad toma leche, el 70% no come carne; los que toman leche y comen carne sumados con los que no toman leche ni comen carne son el 40%,
y 9000 niños comen carne pero no toman leche. ¿Cuántos niños hay en dicha ciudad?

Solución:

Sea 100 el número de niños:

ejercicios de teoria de conjuntos

Del enunciado:

Toman leche: a + b = 60
No comen carne: a + d = 70
Toman Leche y Carne, con los que no toman Leche ni comen Carne: b + d = 40

Sumando miembro a miembro:

2(a + b + d) = 170 Entonces:
a + b + d = 85 … (1)

a + b + c + d = 100 … (2)

De (1) y (2):
c = 15

teoria de conjuntos ejercicios pregunta 18
\Rightarrow x=\frac{100\left ( 9000 \right )}{15}=60000

Pregunta 19

Según las preferencias de 420 personas que ven los canales A, B o C, se observa que 240 no ven el canal A; 180 no ven el canal B, 150 no ven el canal C, los que ven por lo menos 2 canales son 230. ¿Cuántos
ven los 3 canales?

Solución:

Se tiene: n(U) = 420

Además:
n(A’) = 240 entonces n(A)=420-240=180
n(B’) = 180 entonces n(B)=420-180=240
n(C’) = 150 entonces n(C)=420-150=270

Haciendo un diagrama

teoria de conjuntos ejercicios

Tenemos:
a + b + c + d + e + l + x = 420 …(1)

Además:
d + e + l + x = 230 … (2)

Haciendo (2) en (1):
a + b + c + 230 = 420 ; entonces
a + b + c = 190

También:

a + d + e + x = 180
b + e + f + x = 240
c + d + f + x = 270

Sumando miembro a miembro

\scriptsize
\underset{190}{\underbrace{a+b+c}}+2\left ( \underset{230}{\underbrace{d+e+l+x}} \right )+x=690

Resolviendo la ecuación:

190 + 2(230) + x = 690

Entonces x = 40

Por lo tanto:
40 personas ven los 3 canales

Pregunta 20

Un determinado colegio tiene 38 jugadores de fútbol, 15 de básquet y 20 de béisbol. Si el número de jugadores es 58 y solo tres de ellos figuran en los tres deportes, ¿Cuántos figuran exactamente en un deporte?

Solución:

Hacemos un diagrama de Venn-Euler

teoria de conjuntos ejercicio 20

Del enunciado se tiene:

a + b + c + d + e + f = 55 …(1)

También:

a + d + e = 35
b + e + f = 12
c + d + f = 17

Sumando miembro a miembro:

(a + b + c + d + e + f) + d + e + f = 64

Entonces:

a + b + c = 55 – 9 = 46

Por lo tanto:
Figuran exactamente en un deporte 46 jugadores.

Teoría de conjuntos ejercicios resueltos PDF

Y como en todos mis artículos, aquí te comparto un enlace para que puedas descargarte una separata de teoría de conjuntos ejercicios.

La solución la tendrás que realizar tu. Esto te ayudará a que vayas desarrollando destreza y habilidad en la solución de problemas con conjuntos.

Recuerda que todos los ejercicios vienen con clave de respuestas para que sepas si lo que hiciste está bien realizado.

Conclusiones

Espero que este artículo titulado: «Teoría de conjuntos ejercicios resueltos» haya podido cumplir su objetivo de ayudarte en tu preparación para el ingreso a la universidad.

Los ejercicios que aquí se han tocado, han venido en exámenes de admisión y son de nivel pre universitario.

Si quieres que desarrolle algún tema puntual respecto a cualquiera de las materias de matemáticas, solo debes dejarme un comentario que gustoso lo trabajaré.

Te invito a que puedas seguirme en mi canal de YouTube Matemath, para que estés al pendiente de todos los vídeos que subimos. Allí vas a encontrar varios temas desarrollados de matemáticas, solucionados paso a paso.

Una última, si quieres revisar la parte teórica de este tema, te dejo un enlace a la plataforma Matemath, donde explican de manera detallada los conceptos básicos e importantes, su artículo se llama Teoría de Conjuntos.

Nos vemos!.

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