Análisis Vectorial

Qué tal muchachos! hoy inicio los artículos de la materia de física y no podía ser de otra manera que con el tema Análisis Vectorial. Clase más que importante, pues desde aquí se cimientan tus conocimientos para todo lo que se vienen en adelante.

Entender como se comporta un vector dentro de un problema, es la clave para que puedas ir por el camino correcto en la solución de un ejercicio.

Son 20 los ejercicios resueltos de análisis vectorial que he preparado para ti, estos te servirán si ya te vienes preparando para postular a la universidad o estás por terminar la secundaria. El nivel de todas las preguntas es alto; es decir, son de nivel pre universitario.

Empecemos:

Análisis vectorial ejercicios resueltos

Voy a llevarte paso a paso en la solución de cada ejercicio del análisis vectorial.

Pregunta 1

Dos vectores A y B de igual módulo forman un ángulo Ɵ. ¿En qué relación están los módulos de los vectores A+B y A-B?

\begin{align*}
a)\ \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )\\
b)\ \cos \left ( \frac{\theta }{2} \right )\\
c)\ \tan \left ( \frac{\theta }{2} \right )\\
d)\ \cot \left ( \frac{\theta }{2} \right )\\
e)\ \sec \left ( \frac{\theta }{2} \right )
\end{align*}

Solución:

Nos preguntan por:

K=\frac{\left | \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B} \right |}{\left | \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |}

Condición:

\left | \overrightarrow{A} \right |=\left | \overrightarrow{B} \right |=m

Para la suma:

analisis vectorial pregunta 1 imagen 1

Del gráfico:

\small
\begin{align}
\rightarrow \left | \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B} \right |=2m\cos \left ( \frac{\theta }{2} \right )
\end{align}

Para la diferencia:

analisis vectorial pregunta imagen 2

Del gráfico:

\small
\begin{align}
\rightarrow \left | \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |=2m\sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )
\end{align}

Luego hacemos (1) entre (2)

K=\frac{2m\cos \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{2m\sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )}
\therefore H=\cot \left ( \frac{\theta }{2} \right )

Respuesta: Clave D

Pregunta 2

Se tiene dos vectores de módulo constante dispuestos sobre un plano. Se sabe que el mayor y menor valor de su resultante es 32u y 6 u, respectivamente. ¿Qué módulo tiene A-B, cuando A y B forman 60°?

\begin{align*}
&a)\ 2\sqrt{38}u\\
&b)\ 3\sqrt{76}u\\
&c)\ 1,5\sqrt{76}u\\
&d)\ 150\sqrt{76}u\\
&e)\ \sqrt{283}u
\end{align*}

Solución:

En el grafico siguiente preguntan por:

\left | \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |
analisis vectorial pregunta 2 imagen 1

Aplicamos la ley de cosenos:

\footnotesize
\left | \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |=\sqrt{A^{2}+B^{2}-2AB\cos \left ( 60^{\circ} \right )}

Para dar respuesta al problema debemos conocer los módulos del vector A y B.

Para ello utilizamos la condición del problema:

  • El mayor valor de la suma es cuando los vectores tienen la misma dirección.
\rightarrow R_{max}=A+B=32u
  • El menor valor de la suma se tiene cuando las direcciones son opuestas.
\rightarrow R_{min}=A-B=6u

Resolviendo las ecuaciones obtenemos que:

A = 19u y B = 13u

Reemplazamos en la ley de cosenos:

\tiny
\left | \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |=\sqrt{19^{2}+13^{2}-2\left ( 19 \right )\left ( 13 \right )\cos \left ( 60^{\circ} \right )}
\therefore \left | \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |=\sqrt{283}u

Respuesta: Clave E

Pregunta 3

En el gráfico que se muestra M es punto medio de AB; AC = CD = 10u. si la resultante de los vectores P y Q tiene un valor de 26u, determine la medida del ángulo MAD (AB = 28u).

analisis vectorial pregunta 3 imagen 1

a) 60°
b) 37°
c) 53°
d) 50°
e) 40°

Solución:

Se quiere determinar:

M\hat{A}D=\alpha 

Para hallar la resultante de los vectores P y Q, procederemos a descomponerlos en los lados del triángulo.

analisis vectorial pregunta 3 imagen 2

En el gráfico:

\begin{align}
\overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}
\end{align}
\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_{1}}+\overrightarrow{P_{2}}\ \wedge \ \overrightarrow{Q}=\overrightarrow{Q_{1}}+\overrightarrow{Q_{2}}

En (3)

\begin{align*}
\overrightarrow{R}&=\overrightarrow{P_{1}}+\overrightarrow{P_{2}}+\overrightarrow{Q_{1}}+\overrightarrow{Q_{2}}\\
\overrightarrow{R}&=\underset{\overrightarrow{a}}{\underbrace{\left ( \overrightarrow{P_{1}}+\overrightarrow{Q_{1}} \right )}}+\underset{\overrightarrow{b}}{\underbrace{\left ( \overrightarrow{P_{2}}+\overrightarrow{Q_{2}} \right )}}
\end{align*}

Donde:

\left | \overrightarrow{a} \right |=30\ \wedge \ \left | \overrightarrow{b} \right |=28
analisis vectorial pregunta 3 imagen 3

Aplicamos la ley de cosenos:

\small
\begin{align*}
R^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha \\
26^{2}&=30^{2}+28^{2}-2\left ( 30 \right )\left ( 28 \right )\cos \alpha 
\end{align*}

Despejando:

\cos \alpha =\frac{3}{5}
\therefore \alpha =53^{\circ}

Respuesta: Clave C

Pregunta 4

Al realizar algunas operaciones con los vectores A y B se logró obtener los vectores siguientes:

analisis vectorial pregunta 4 imagen 1

Donde los módulos de los vectores son:

\footnotesize
\left | 4\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |=10u\ \text y\ \left |\overrightarrow{A}+2\overrightarrow{B} \right |=10\sqrt{3}u

Determine el módulo de:

7\overrightarrow{A}-4\overrightarrow{B}
\begin{align*}
&a)\ 10\sqrt{13}\\
&b)\ 9\sqrt{7}\\
&c)\ 7\sqrt{5}\\
&d)\ 3\sqrt{14}\\
&e)\ 5\sqrt{51}
\end{align*}

Solución:

La incógnita es:

7\overrightarrow{A}-4\overrightarrow{B}

De la condición tenemos:

\left | 4\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |=10u
\small
\rightarrow \left | 8\overrightarrow{A}-2\overrightarrow{B} \right |=2\left | 4\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |=20u
\footnotesize
\underset{\overrightarrow{m}}{\underbrace{\left ( 8\overrightarrow{A}-2\overrightarrow{B} \right )}}\underset{\overrightarrow{n}}{\underbrace{\left ( \overrightarrow{A}+2\overrightarrow{B} \right )}}=\left ( 7\overrightarrow{A}-4\overrightarrow{B} \right )
\left | \overrightarrow{m} \right |=20u\ \wedge \ \left | \overrightarrow{n} \right |=10\sqrt{3}u
analisis vectorial pregunta 4 imagen 2
\left | 7\overrightarrow{A}-4\overrightarrow{B} \right |=\sqrt{\left ( 5\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( 35 \right )^{2}}
\therefore \left | 7\overrightarrow{A}-4\overrightarrow{B} \right |=10\sqrt{13}u

Respuesta: Clave A

Pregunta 5

El gráfico representa una placa sobre la cual actúan cuatro fuerzas coplanares. Determinar el módulo de la resultante de estas cuatro fuerzas.

analisis vectorial pregunta 5 imagen 1
\begin{align*}
&a)\ 50\sqrt{17}N\\
&b)\ 40\sqrt{17}N\\
&c)\ 30\sqrt{17}N\\
&d)\ 120N\\
&e)\ 20N
\end{align*}

Solución:

El módulo de la resultante se determinará descomponiendo los vectores en las direcciones X e Y.

analisis vectorial pregunta 5 imagen 2
\overrightarrow{R}=\sum \overrightarrow{V_{y}}+\sum \overrightarrow{V_{x}}
\begin{align*}
\sum \overrightarrow{V}_{x}&=\left ( +80 \right )+\left ( -40 \right )+\left ( -10 \right )\\
\sum \overrightarrow{V}_{x}&=+30N
\end{align*}
\scriptsize
\begin{align*}
\sum \overrightarrow{V}_{y}&=\left ( +30 \right )+\left ( +15 \right )+\left ( +80 \right )+\left ( -5 \right )\\
\sum \overrightarrow{V}_{y}&=+120N
\end{align*}

Luego graficamos la resultante:

analisis vectorial pregunta 5 imagen 3
R=\sqrt{120^{2}+30^{2}}
\therefore R=30\sqrt{17}N

Respuesta: Clave C

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Pregunta 6

El el gráfico, los vectores dados están relacionados entre sí por C=mA+nB, donde m y n son números reales. Determine m y n.

analisis vectorial pregunta 6 imagen 1

a) 8/11; 2/11
b) 4/5; 2/15
c) 5/11; 3/11
d) 8/5; 2/15
e) 8/15; 5/8

Solución:

Para determinar m y n, expresaremos los vectores como pares ordenados.

Del gráfico:

\begin{align*}
\overrightarrow{C}&=\left ( 2; -2 \right )\\
\overrightarrow{A}&=\left ( -2; 3 \right )\\
\overrightarrow{B}&=\left ( -3; -1 \right )
\end{align*}

En la ecuación:

\scriptsize
\overrightarrow{C}=m\overrightarrow{A}+n\overrightarrow{B}=m\left ( -2;3 \right )+n\left ( -3;-1 \right )

Operamos:

\small
\begin{align*}
\left ( 2;-2 \right )&=\left ( -2m;3m \right )+\left ( -3n;-n \right )\\
\rightarrow \left ( 2;-2 \right )&=\left ( -2m-3n;3m-n \right )
\end{align*}

Igualamos los componentes:

\begin{align}
2m+3n=-2\\
3m-n=-2
\end{align}

Resolvemos (4) y (5)

m=\frac{8}{11}\ \wedge \ n=\frac{2}{11}

Respuesta: Clave A

Pregunta 7

El gráfico que se muestra es un rectángulo. Determine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados.

analisis vectorial pregunta 7 imagen 1

a) 8u
b) 10u
c) 12u
d) 15u
e) 18u

Solución:

Descomponemos los vectores con respecto a los ejes X e Y

analisis vectorial pregunta 7 imagen 2

Del gráfico:

\sum \overrightarrow{V}_{x}=\left ( -6u \right )\\
\sum \overrightarrow{V}_{y}=\left ( -8u \right )

Luego graficamos el vector resultante

analisis vectorial pregunta 7 imagen 3
\therefore R=10u

Respuesta: Clave B

Pregunta 8

Si la resultante del sistema de vectores mostrados es:

2\left ( \sqrt{3}+1 \right )\left (-\hat{j} \right)u

Determine el módulo del vector D, si verifica:

\overrightarrow{D}=\overrightarrow{C}+\left ( \frac{\sqrt{3}-1}{5} \right )\overrightarrow{P}.
analisis vectorial pregunta 8 imagen 1
\begin{align*}
&a)\ 2u\\
&b)\ 4u\\
&c)\ 2\sqrt{5}u\\
&d)\ 4\sqrt{5}u\\
&e)\ \sqrt{5}u
\end{align*}

Solución:

Se quiere encontrar:

\left | \overrightarrow{D} \right |=D;\ \text{si}
\overrightarrow{D}=\overrightarrow{C}+\left ( \frac{\sqrt{3}-1}{5} \right )\overrightarrow{P}.

Entonces, se requieren los vectores C y P, que se determinarán de la condición del problema.

analisis vectorial pregunta 8 imagen 2
\begin{align}
\overrightarrow{R}=\overset{0}{\cancel{\sum \overrightarrow{V}_{x}}}+\sum \overrightarrow{V}_{y}
\end{align}

Por condición, la resultante es vertical; entonces:

\sum V_{x}=0=-C-6+8\\
\rightarrow C=2u\ \wedge \ \overrightarrow{C}=2\left (-\hat{i} \right)u

Por dato y el gráfico:

\small
\begin{align*}
R&=-2\left ( \sqrt{3}+1 \right )=8+8\sqrt{3}-P\\
\rightarrow P&=10\left ( \sqrt{3}+1 \right )u\\
\wedge \ \overrightarrow{P}&=10\left ( \sqrt{3}+1 \right )\left ( -\hat{j} \right )u
\end{align*}

Reemplazando en el dato del problema:

\tiny
\overrightarrow{D}=\left [ 2\left ( -\hat{i} \right )+\left ( \frac{\sqrt{3}-1}{5} \right )\left ( 10 \right )\left ( \sqrt{3}+1 \right )\left ( -\hat{j} \right ) \right ]u

Entonces:

\overrightarrow{D}=\left ( -2\hat{i}-4\hat{j} \right )u
\therefore \left | \overrightarrow{D} \right |=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}u

Respuesta: Clave C

Pregunta 9

Se muestran tres vectores A, B y C que verifican:

\left | \overrightarrow{A} \right |=\left | \overrightarrow{B} \right |=\frac{\left | \overrightarrow{C} \right |}{2}

Si la resultante de los tres vectores toma su menor valor, determine el valor del ángulo alfa y el valor de la resultante.

analisis vectorial pregunta 9 imagen 1

a) 16° y 24 cm
b) 14° y 25 cm
c) 14° y 20 cm
d) 16° y 25 cm
e) 14° y 50 cm

Solución:

Del dato en el gráfico:

\overrightarrow{B}=\left ( 24;7 \right )cm\rightarrow \left | \overrightarrow{B} \right |=25cm
\rightarrow \left | \overrightarrow{A} \right |=25 \ cm\ \text y \ \left | \overrightarrow{C} \right |=50\ cm

Además, la dirección de B es 16°.

Si los tres vectores giran el mismo ángulo en el mismo sentido, la resultante no cambia.

Por conveniencia, se girará a los tres vectores en 16° en sentido horario.

analisis vectorial pregunta 9 imagen 2

La resultante de los tres vectores es:

\overrightarrow{R}=\underset{\overrightarrow{D}}{\underbrace{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}}}+\overrightarrow{C}
\rightarrow \overrightarrow{R}=\overrightarrow{D}+\overrightarrow{C}

Hallamos el vector D

Por condición la resultante debe ser mínima, entonces D y C deben ser opuestos.

analisis vectorial pregunta 9 imagen 3
\rightarrow \alpha +16^{\circ}=30^{\circ}
\therefore \alpha =14^{\circ}

Redibujamos los vectores:

analisis vectorial pregunta 9 imagen 4

La resultante mínima es: R = C – D

\rightarrow \ R=50-25
\therefore R=25\ cm

Respuesta: Clave B

Pregunta 10

En el gráfico se muestran tres vectores P, Q y S, donde:

\left | \overrightarrow{P} \right |=3u\ \text y \ \left | \overrightarrow{Q} \right |=2\sqrt{10}u

Determine el valor de m si se verifica:

m\overrightarrow{P}+3\overrightarrow{Q}=n\overrightarrow{S}.

Considere: tanϴ = 1/3

analisis vectorial pregunta 10 imagen 1

a) 14/3
b) 5
c) 11/3
d) 16/3
e) 17/3

Solución:

De la ecuación:

m\overrightarrow{P}+3\overrightarrow{Q}=n\overrightarrow{S}.

se construye la siguiente gráfica (n < 0)

analisis vectorial pregunta 10 imagen 2

Del dato:

\left | Q \right |=2\sqrt{10}u\\
\rightarrow \left | 3\overrightarrow{Q} \right |=K\sqrt{10}=3\left ( 2\sqrt{10} \right )

Luego: K = 6 u

Del gráfico:

\frac{K}{3}+\left | m\overrightarrow{P} \right |=3K

Reemplazando valores:

\rightarrow \frac{6}{3}+m\left ( 3 \right )=3\left ( 6 \right )
\therefore m=\frac{16}{3}

Respuesta: Clave D

Pregunta 11

Se muestra un vector A constante. ¿Cuál es el menor valor de un vector B que hay que sumarle al vector A tal que la resultante esté sobre el eje X?

analisis vectorial pregunta 11 imagen 1

a) 1 cm
b) 2 cm
c) 1,5 cm
d) 2,5 cm
e) 1,2 cm

Solución:

Se quiere el menor valor de un vector B, con la condición de que la resultante se encuentre en el eje X.

analisis vectorial pregunta 11 imagen 2

A continuación, del vector A se pueden trazar una infinidad de vectores tal que la resultante se encuentra en el eje X, pero el vector que presenta el menor valor es el perpendicular al eje X; en el gráfico, el vector B.

\therefore \left | \overrightarrow{B} \right |=2\ cm

Respuesta: Clave B

Pregunta 12

En el gráfico se muestran dos vectores dispuestos sobre un cubo. Determine en qué relación se encuentran los módulos de los vectores A+B y A-B.

analisis vectorial pregunta 12 imagen 1
\begin{align*}
&a)\ \frac{1}{3}\\
&b)\ \sqrt{2}\\
&c)\ \frac{\sqrt{2}}{3}\\
&d)\ \frac{\sqrt{3}}{2}\\
&e)\ 3
\end{align*}

Solución:

La incógnita es

K=\frac{\left | \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B} \right |}{\left | \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |}

Primero hallaremos:

\left | \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B} \right |

Descomponemos los vectores en los lados del cubo.

analisis vectorial pregunta 12 imagen 2

Del gráfico:

\begin{align*}
\cdot \ &\left | \sum \overrightarrow{V}_{z} \right |=2a\\
\cdot \ &\left | \sum \overrightarrow{V}_{y} \right |=a\\
\cdot \ &\left | \sum \overrightarrow{V}_{x} \right |=2a
\end{align*}
\begin{align*}
\left | \sum \overrightarrow{V} \right |&=\sqrt{\left ( 2a \right )^{2}+\left ( a \right )^{2}+\left ( 2a \right )^{2}}\\
\left | \sum \overrightarrow{V} \right |&=3a
\end{align*}
\begin{align}
\rightarrow \left | \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B} \right |=3a
\end{align}

Ahora el módulo de:

\left | \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |
analisis vectorial pregunta 12 imagen 3

Luego:

\scriptsize
\left | \sum \overrightarrow{V}_{x} \right |=0;\ \left | \sum \overrightarrow{V}_{y} \right |=a;\ \left | \sum \overrightarrow{V}_{z} \right |=0
\begin{align}
\rightarrow \left | \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right |=a
\end{align}

Reemplazamos (7) y (8) en la ecuación inicial:

K=\frac{3a}{a}
\therefore K=3

Respuesta: Clave E

¿Lo tuyo es mirar para poder aprender?

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Pregunta 13

Se tiene un hexágono regular de lado 4u. Si de uno de sus vértices se empieza a trazar vectores dirigidos a cada uno de los vértices restantes. ¿Qué módulo tiene la resultante del sistema de vectores?

a) 12u
b) 18u
c) 21u
d) 24u
e) 20u

Solución:

Graficamos el problema:

analisis vectorial pregunta 13 imagen 1

Se debe calcular:

\left | \overrightarrow{S} \right |=\left | \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}+\overrightarrow{E} \right |

Trasladando convenientemente los vectores a y E, se observa:

\overrightarrow{B}+\overrightarrow{E}=\overrightarrow{C}\ \text y \ \overrightarrow{D}+\overrightarrow{A}=\overrightarrow{C}

Luego:

\begin{align*}
\left | \overrightarrow{S} \right |&=\left | \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}+\overrightarrow{E} \right |\\
\left | \overrightarrow{S} \right |&=\underset{\overrightarrow{C}}{\underbrace{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{D}}}+\underset{\overrightarrow{C}}{\underbrace{\overrightarrow{B}+\overrightarrow{E}}}+\overrightarrow{C}
\end{align*}
\rightarrow \overrightarrow{S}=3\overrightarrow{C}

De las propiedades geométricas de un hexágono regular, el lado es igual al radio, entonces el diámetro es 8u.

\rightarrow \left | \overrightarrow{S} \right |=3\left | \overrightarrow{C} \right |=3\left ( 8 \right )
\therefore \left | \overrightarrow{S} \right |=24u

Respuesta: Clave D

Pregunta 14

A partir del gráfico, determine el vector B si su módulo es (√17)/2 u.

analisis vectorial pregunta 14 imagen 1
\begin{align*}
&a)\ \hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\\
&b)\ \hat{i}+\frac{3}{2}\hat{j}-\hat{k}\\
&c)\ 3\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\\
&d)\ \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\\
&e)\ 3\hat{i}+\frac{1}{3}\hat{j}+\hat{k}
\end{align*}

Solución:

Para determinar B aplicamos:

\begin{align}
\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\mu }_{B}\left | \overrightarrow{B} \right |
\end{align}
analisis vectorial pregunta 14 imagen 2

Del gráfico:

\overrightarrow{\mu }_{B}=\overrightarrow{\mu }_{MN}
\begin{align}
\overrightarrow{\mu }_{MN}=\frac{\overrightarrow{MN}}{\left | \overrightarrow{MN} \right |}
\end{align}
\begin{align*}
\overrightarrow{MN}&=\left ( 4;6;0 \right )-\left ( 0;0;4 \right )\\
\overrightarrow{MN}&=\left ( 4;6;-4 \right )\\
\overrightarrow{MN}&=2\left ( 2\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k} \right )
\end{align*}
\begin{align*}
\left | \overrightarrow{MN} \right |&=\sqrt{\left ( 4 \right )^{2}+\left ( 6 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}}\\
\rightarrow \left | \overrightarrow{MN} \right |&=2\sqrt{17}u
\end{align*}

En (10)

\overrightarrow{\mu }_{MN}=\frac{2\left ( 2\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k} \right )}{2\sqrt{17}}\\=\frac{\left ( 2\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k} \right )}{\sqrt{17}}

En (9)

\overrightarrow{B}=\frac{\left ( 2\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k} \right )}{\sqrt{17}}\left ( \frac{\sqrt{17}}{2} \right )
\therefore \overrightarrow{B}=\hat{i}+\frac{3}{2}\hat{j}-\hat{k}

Respuesta: Clave B

Pregunta 15

A partir del gráfico, determine el vector unitario del vector A.

analisis vectorial pregunta 15 imagen 1
\begin{align*}
&a)\ \frac{2}{\sqrt{34}}\left ( 5\hat{i}+3\hat{j} \right )\\
&b)\ \frac{1}{2\sqrt{34}}\left ( 5\hat{i}-3\hat{j} \right )\\
&c)\ \frac{1}{\sqrt{34}}\left ( 5\hat{i}+3\hat{j} \right )\\
&d)\ \frac{2}{\sqrt{34}}\left ( 5\hat{i}+3\hat{j} \right )\\
&e)\ \frac{2}{\sqrt{34}}\left ( -5\hat{i}+2\hat{j} \right )
\end{align*}

Solución:

El vector unitario de un vector A se determina según:

\begin{align}
\overrightarrow{\mu }_{A}=\frac{\overrightarrow{A}}{A}
\end{align}

Aplicamos las propiedades geométricas del gráfico y obtenemos:

analisis vectorial pregunta 15 imagen 2

Luego:

\footnotesize
\begin{align*}
A&=10\sin \alpha \\
\overrightarrow{A}&=\left ( -10\sin \alpha \cos \alpha  \right )\hat{i}+\left ( -10\sin ^{2}\alpha  \right )\hat{j}
\end{align*}

Reemplazando en (11), obteniendo:

\overrightarrow{\mu }_{A}=\left ( -\cos \alpha  \right )\hat{i}+\left ( -\sin \alpha  \right )\hat{j}

De: tan ἀ = 3/5, entonces:

\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{34}};\ \cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{34}}

Finalmente:

\overrightarrow{\mu }_{A}=\left ( -\frac{5}{\sqrt{34}} \right )\hat{i}+\left ( -\frac{3}{\sqrt{34}} \right )\hat{j}
\therefore \overrightarrow{\mu }_{A}=\frac{1}{\sqrt{34}}\left ( 5\hat{i}+3\hat{j} \right )

Respuesta: Clave C

Pregunta 16

Se muestra un cuadrante sobre el cual se ha dispuesto un conjunto de vectores, de los cuales A, B, C y D tienen un origen común.
Señale la alternativa incorrecta.

analisis vectorial pregunta 16 imagen 1
\begin{align*}
&a)\ \overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}=\overrightarrow{C}\\
&b)\ \overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{F}=2\overrightarrow{D}\\
&c)\ \overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}-\overrightarrow{D}=-\overrightarrow{C}\\
&d)\ \text{La componente horizontal de}\\
&\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{D}\ \text{es}\ 4\overrightarrow{C}\\
&e)\ \overrightarrow{A}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{E}=\overrightarrow{D}
\end{align*}

Solución:

analisis vectorial pregunta 1y6 imagen 2

Comprobemos las siguientes alternativas:

a) VERDADERA

\begin{align*}
\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}&=\left ( \overrightarrow{B}-\overrightarrow{A} \right )+\overrightarrow{E}\\
&=\left ( \underset{\overrightarrow{B}}{\underbrace{2\overrightarrow{A}}}-\overrightarrow{A} \right )+\overrightarrow{E}\\
&=\underset{\overrightarrow{C}}{\underbrace{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}}}\\
&=\overrightarrow{C}
\end{align*}
\therefore \overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}=\overrightarrow{C}

b) VERDADERA

\scriptsize
\begin{align*}
\left ( \overrightarrow{A}+\overrightarrow{E} \right )+\overrightarrow{C}+\left ( \overrightarrow{B}+\overrightarrow{F} \right )&=\overrightarrow{C}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}\\
&=2\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}\\
&=\overrightarrow{D}+\overrightarrow{D}\\
&=2\overrightarrow{D}
\end{align*}
\therefore \overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{F}=2\overrightarrow{D}

c) VERDADERA

\begin{align*}
\overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}-\overrightarrow{D}&=\left ( \overrightarrow{A}+\overrightarrow{E} \right )-\overrightarrow{D}\\
&=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D}\\
&=\overrightarrow{C}-\left ( 2\overrightarrow{C} \right )\\
&=-\overrightarrow{C}
\end{align*}

d) FALSA

\begin{align*}
\overrightarrow{R}&=\underset{\overrightarrow{C}}{\underbrace{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}}}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{D}\\
\overrightarrow{R}&=2\overrightarrow{C}+\underset{2\overrightarrow{C}}{\underbrace{\overrightarrow{D}}}+\overrightarrow{B}\\
\overrightarrow{R}&=4\overrightarrow{C}+\overrightarrow{B}
\end{align*}
\therefore \overrightarrow{R_{x}}=4\overrightarrow{C}+\overrightarrow{B_{x}}

La componente Bx no es nula, entonces:

\overrightarrow{R_{x}}\neq 4\overrightarrow{C}

e) VERDADERA

\begin{align*}
\overrightarrow{A}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{E}&=\underbrace{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}}+\overrightarrow{C}\\
&=\overrightarrow{C}+\overrightarrow{C}\\
&=2\overrightarrow{C}\\
&=\overrightarrow{D}
\end{align*}
\therefore \overrightarrow{A}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{E}=\overrightarrow{D}

Respuesta: Clave D

Pregunta 17

Una mosca, luego de pasar por el origen de coordenadas, sigue el trayecto mostrado para detenerse en P. Si OM=15; MN=8√3 y NP=4√3, determine su desplazamiento de O hacia P en cm.

analisis vectorial pregunta 17 imagen 1

a) (20; -12)
b) (21; 12)
c) (-21; 9)
d) (-20; 12)
e) (21; 9)

Solución:

La incógnita es el vector desplazamiento de la mosca.

Graficamos según los valores dados:

analisis vectorial pregunta 17 imagen 2

Luego:

\overrightarrow{d}=\left ( 21; 12 \right )

Respuesta: Clave B

Pregunta 18

Se muestra un conjunto de vectores dispuestos sobre un cuadrado. Si OA es de 3√2 u, determine el módulo de la resultante de dichos vectores.

analisis vectorial pregunta 18

a) 6 u
b) 6√2 u
c) 9 u
d) 9√2 u
e) 12 u

Solución:

Se quiere determinar el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

analisis vectorial pregunta 18 imagen 2

Observe que la suma de vectores que se encuentran en los lados del cuadrado es nula, también la suma de vectores en una diagonal es nula.

Entonces, la suma de vectores es igual a la suma de los dos vectores que se encuentran en la otra diagonal del cuadrado.

\therefore \left | \overrightarrow{S} \right |=6\sqrt{2}u

Respuesta: Clave B

Pregunta 19

a partir del gráfico, determine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados, siendo:

\left | \overrightarrow{A} \right |=5u\ \text y \ \left | \overrightarrow{E} \right |=6u
analisis vectorial pregunta 19

a) 12 u
b) 13 u
c) 14 u
d) 15 u
e) 18 u

Solución:

Se debe determinar el módulo de la suma

\footnotesize
\left | \overrightarrow{S} \right |=\left | \overrightarrow{A}+\overrightarrow{G}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}+\overrightarrow{E} \right |
analisis vectorial pregunta 19 imagen 2

Del gráfico:

\small
\overrightarrow{S}=\underset{\overrightarrow{0}}{\underbrace{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{G}+\overrightarrow{F}}}+\underset{\overrightarrow{P}}{\underbrace{\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}}}+\overrightarrow{E}
\rightarrow \overrightarrow{S}=\overrightarrow{P_{y}}+\overrightarrow{P_{x}}+\overrightarrow{E}

Pero

\overrightarrow{P_{x}}=\overrightarrow{E}\ \text y \ \left | \overrightarrow{A} \right |=\left | \overrightarrow{P_{y}} \right |=5u
\rightarrow \overrightarrow{S}=\overrightarrow{P_{y}}+2\overrightarrow{E};\\
\left | \overrightarrow{P_{y}} \right |=5u\ \text y \ \left | 2\overrightarrow{E} \right |=12u

Luego:

analisis vectorial pregunta 19 imagen 3
\therefore \left | \overrightarrow{S} \right |=13u

Respuesta: Clave B

Pregunta 20

Se muestra un sistema de vectores que verifican que:

\left | \overrightarrow{A} \right |=\left | \overrightarrow{B} \right |=\left | \overrightarrow{D} \right |=6u
\left | \overrightarrow{C} \right |=6\sqrt{3}u\ \text y \ \left | \overrightarrow{H} \right |=8u

Determinar el módulo de la resultante.

analisis vectorial pregunta 20

a) 5u
b) 5√3u
c) 10u
d) 10√3u
e) 6√3u

Solución:

La incógnita es el módulo de la resultante:

\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{K}+\overrightarrow{J}+\overrightarrow{H}+\overrightarrow{L}\\+\overrightarrow{I}+\overrightarrow{E}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}
\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\underset{\overrightarrow{O}}{\underbrace{\overrightarrow{K}+\overrightarrow{J}+\overrightarrow{H}+\overrightarrow{L}}}\\+\underset{\overrightarrow{H}}{\underbrace{\overrightarrow{I}+\overrightarrow{E}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G}}}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}
\rightarrow \overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{H}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}

Descomponemos los vectores C y B, obteniendo:

analisis vectorial pregunta 20 imagen 2
\left | \sum \overrightarrow{V_{x}} \right |=8u\\
\left | \sum \overrightarrow{V_{y}} \right |=6u

Luego:

analisis vectorial pregunta 20 imagen 3
\rightarrow R^{2}=8^{2}+6^{2}
\therefore R=10u

Respuesta: Clave C

Análisis Vectorial PDF

En esta sección te voy a compartir un enlace para que puedas descargarte una separata con ejercicios propuestos del tema Análisis vectorial, la solución la tendrás que realizar tu, todos los problemas están con clave de respuesta; así que te será muy sencillo saber si lo que hiciste está bien.

Recuerda que la práctica hace al maestro, tiene que meterle con todo a este tema porque te servirá para todo lo que se te viene, créeme que así es!

Conclusiones del artículo Análisis Vectorial

Hemos arrancado con el pie derecho, seguiré pisando el acelerador para ponerte muchos más artículos de Física, pero no podía hacerlo sin antes haber desarrollado Análisis vectorial.

Todos los ejercicios aquí presentados tienen un buen nivel académico, por esa razón es importante que conozcas la parte teórica. De esa manera no volarás.

Échale un vistazo a toda la web, porque vas a encontrar problemas de todas las materias. Si me permites darte un consejo, las materias hermanas de la física son el álgebra y la trigonometría. Así que no te puedes descuidar en lo mencionado.

Nos vemos en otro artículo. Bye!

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