Segmentos ejercicios resueltos

Este es el primer artículo que lanzo sobre Geometría, espero poder aportarte, ya que vas a encontrar Segmentos ejercicios resueltos. El tema base de la geometría plana.

Vamos a resolverlos paso a paso y de una manera simple, es aconsejable que tengas conocimientos básicos para que puedas entender todas las operaciones que aquí se realicen.

Segmentos ejercicios

Empecemos entonces. A lo que venimos:

Pregunta 1

U, N, I son puntos colineales y consecutivos UN – NI = 32. M biseca a UN; R biseca a NI y Q biseca a MR. Hallar el segmento QN

Solución:

Grafiquemos la información brindada en el problema:

Segmentos ejercicios

Nos piden hallar QN, al que llamaremos x.

Sea:

\overline{NR}=a\rightarrow \overline{RI}=a;\ \overline{QR}=x+a

También del gráfico:

\overline{MQ}=x+a\\
\overline{UM}=\overline{MN}=2x+a

Usando el gráfico, para reemplazar en el dato:

UN – NI = 32

\begin{align*}
\left ( 4x+2a \right )-2a&=32\\
4x&=32
\end{align*}
\therefore x=8

Pregunta 2

En una línea se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E; siendo AC(AD)=BE(CE); BC(DE)=9 y AB(CD)=7. Hallar AC2-CE2

Solución:

Tenemos los siguientes datos en el problema

\begin{align}
AC(AD)&=BE(CE)\\
BC(DE)&=9\\
AB(CD)&=7
\end{align}

El gráfico sería de la siguiente manera:

ejercicios con segmentos pregunta 2

De (1)

\small
\begin{align*}
AC(AD)&=BE(CE)\\
AC(AC+CD)&=(BC+CE)CE\\
AC^{2}+AC\left ( CD \right )&=BC\left ( CE \right )+CE^{2}\\
AC^{2}-CE^{2}&=BC\left ( CE \right )-\\AC\left ( CD \right )
\end{align*}

Ahora, tratamos de acomodar el segundo miembro de esta última expresión para usarlos datos (2) y (3):

\tiny
AC^{2}-CE^{2}=BC\left ( CD+DE \right )-\left ( AB+BC \right )CD\\
AC^{2}-CE^{2}=BC\left ( CD \right )+BC\left ( DE \right )-AB\left ( CD \right )\\-BC\left ( CD \right )

Es decir:

\small
AC^{2}-CE^{2}=BC\left ( DE \right )-AB\left ( CD \right )

Reemplazando los datos de (2) y (3)

\therefore AC^{2}-CE^{2}=9-7=2

Otra forma de resolver este problema, pudo ser colocando variables a cada longitud creada

ejercicios con segmentos pregunta 2.1

De los datos tenemos:

BC\left ( DE \right )=9\rightarrow nq=9
AB\left ( CD \right )=7\rightarrow mr=7

y de: AC(AD)=BE(CE) tendríamos:

\small
\left ( m+n \right )\left ( m+n+r \right )=\left ( n+r+q \right )\cdot\\
\cdot\left ( r+q \right )

De esto último se obtiene:

\small
\left ( m+n \right )^{2}+\left ( m+n \right )r=n\left ( r+q \right )+\\
+\left ( r+q \right )^{2}

Es decir:

\left ( m+n \right )^{2}-\left ( r+q \right )^{2}=nq-mr

o también:

AC^{2}-CE^{2}=9-7
\therefore AC^{2}-CE^{2}=2

Pregunta 3

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C, cumpliéndose:

AB\left ( BC \right )=\alpha AC^{2}
\frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB}=\theta 

Calcular el valor de:

\alpha \left ( 2+\theta  \right )

Solución:

Mi gráfica sería de la siguiente manera:

image
\begin{align}
&AB\left ( BC \right )=\alpha AC^{2}\\
&\frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB}=\theta
\end{align}

De (4):

AB\left ( BC \right )=\alpha \left ( AB+BC \right )^{2}

De donde:

AB\left ( BC \right )=\alpha \left ( AB^{2}+BC^{2} \right )+\\
+2\alpha AB\left ( BC \right )

Es decir:

AB\left ( BC \right )\left ( 1-2\alpha  \right )=\alpha\cdot\\
\cdot \left ( AB^{2}+BC^{2} \right )

Acomodando:

\frac{1-2\alpha }{\alpha }=\frac{AB^{2}+BC^{2}}{AB\left ( BC \right )}

Desdoblando el segundo miembro:

\frac{1-2\alpha }{\alpha }=\frac{AB^{2}}{AB\left ( BC \right )}+\frac{BC^{2}}{AB\left ( BC \right )}

Esto es:

\begin{align}
\frac{1-2\alpha }{\alpha }=\frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB}
\end{align}

Ahora reemplazando (5) en (6)

\frac{1-2\alpha }{\alpha }=\theta 

Se deduce que:

1-2\alpha =\alpha \theta \rightarrow 1=\alpha \theta +2\alpha 
\therefore \alpha \left ( \theta +2 \right )=1

Pregunta 4

Sobre una recta se tienen los segmentos colineales y consecutivos AB, BC y CD; tal que AB es equivalente a CD. Demostrar que:

\small
\frac{1}{AB\left ( AC \right )}+\frac{1}{BC\left ( BD \right )}=\frac{1}{AB\left ( BC \right )}

Solución:

Considerando el gráfico adjunto, tenemos lo siguiente:

ejercicio 4 segmentos geometria
\begin{align*}
&\frac{1}{AB\left ( AC \right )}+\frac{1}{BC\left ( BD \right )}=\\
&=\frac{1}{a\left ( a+b \right )}+\frac{1}{b\left ( a+b \right )}\\
&=\frac{b+a}{ab\left ( a+b \right )}
\end{align*}

Es decir:

\small
\frac{1}{AB\left ( AC \right )}+\frac{1}{BC\left ( BD \right )}=\frac{a+b}{ab\left ( a+b \right )}
\rightarrow \frac{1}{AB\left ( AC \right )}+\frac{1}{BC\left ( BD \right )}=\frac{1}{ab}
\therefore \frac{1}{AB\left ( AC \right )}+\frac{1}{BC\left ( BD \right )}\\=\frac{1}{AB\left ( BC \right )}

Pregunta 5

Sean los puntos colineales y consecutivos A, B y C. Hallar la longitud de AB, si AB+BC2=11 y AC=9.

Solución:

Según la información, realizamos el siguiente gráfico:

ejercicio 5 segmentos geometria

y tenemos lo siguiente:

BC = 9 – x

En el dato:

AB+BC^{2}=11\\\Rightarrow x+\left ( 9-x \right )^{2}=11

De donde:

x^{2}-17x+70=0\\\Rightarrow \left ( x-10 \right )\left ( x-7 \right )=0

Resolviendo:

x=10\vee x=7

Como x<9

\therefore x=7

Pregunta 6

A, B, C, D, E, F, G y H son puntos colineales y consecutivos, tales que 2(AH)=3(BG)=5(CF) y AD+BE+CF+DG+EH=620; hallar AH

Solución:

ejercicio 7 segmentos geometria

De: 2(AH)=3(BG)=5(CF)

Se obtiene:

\begin{align}
BG=\frac{2}{3}AH\\
CF=\frac{2}{5}AH
\end{align}

Por otro lado:

AD+BE+CF+DG+EH=620

Agrupando se tiene que:

AD+DG=AG y BE+EH=BH

Entonces:

AG + BH + CF = 620

Ahora:

AG + (BG + GH) + CF = 620

Unimos: AG + GH = AH

Nuevamente reemplazamos:

AH + BG + CF = 620

Usando las ecuaciones (7) y (8)

AH+\frac{2}{3}AH+\frac{2}{5}AH=620

Efectuando:

\frac{31}{15}AH=620
\therefore AH=300

Pregunta 7

A, B y C son tres puntos distintos del plano, tales que AB=5 y BC=7. Hallar:

  • El mínimo valor de AC.
  • El máximo valor de AC..
  • La diferencia entre los valores enteros máximo y mínimo de AC, sabiendo que A, B y C no son colineales.

Solución:

  • El mínimo valor de AC corresponde al grafico siguiente:
segmentos geometria 7.1

Entonces en este caso: AC = 7 – 5 = 2

  • El máximo valor de AC se obtiene con el siguiente gráfico:
segmentos geometria 7.2

Luego: AC = 5 + 7 = 12

  • Si A, B y C no son colineales, determinan un triángulo.
segmentos geometria 7.3

Entonces: AC < 5 + 7 entonces AC < 12

También: AC > 7 – 5 entonces AC > 2

Por lo tanto, el máximo valor entero de AC es 11 y el mínimo valor entero de AC es 3.

Se pide: 11- 3 = 8

Pregunta 8

Para el gráfico PS=18; hallar el valor de y, sabiendo que x es un número entero.

segmentos geometria 8

Solución:

Para hallar x, usaremos el dato que es un número entero y el hecho de que las longitudes deben ser números positivos:

PQ > 0 entonces y – x > 0 …. (I)

QR > 0 entonces 2x – y > 0 …. (II)

Además como:

PS = 18 entonces (y – x) + (2x – y) + (x + y) = 18

De donde: 2x + y = 18

Despejando y = 18 – 2x …. (III)

Sustituyendo ahora, (III) en (I):

18 – 2x – x > 0 entonces 18 > 3x entonces 6 > x …. (IV)

También de (III) en (II):

2x – (18 – 2x) > 0 entonces 4x > 18 entonces x > 4,5 …. (V)

Luego, de (IV) y (V): 6 > x > 4,5

Siendo por dato, x entero: x = 5

Finalmente, para el valor de y reemplazamos en (III): y 18 – 2(5)

Por lo tanto, y = 8

Pregunta 9

Sean P, Q, R y S puntos colineales y consecutivos; calcular QR, sabiendo que PS = 36, PR = 24 y PQ(RS) = QR(PS)

Solución:

segmentos geometria 9

En la figura: RS = 36 – 24 = 12

Incógnita: QR = x, entonces PQ = 24 – x

En el dato: PQ(RS) = QR(PS)

(24 – x)12 = x(36) entonces x = 6

Por lo tanto, QR=6

Pregunta 10

Sean los puntos A, B, C y D colineales y consecutivos. Calcular BC, sabiendo que:

\frac{AB}{2}=\frac{BC}{5}=\frac{CD}{7}

y AC + BD = 76

Solución:

El dato:

\frac{AB}{2}=\frac{BC}{5}=\frac{CD}{7}

lo podemos igualar a una misma constante x.

Así:

\frac{AB}{2}=\frac{BC}{5}=\frac{CD}{7}=x

De donde:

\begin{align*}
\frac{AB}{2}=x\Rightarrow AB=2x\\
\frac{BC}{5}=x\Rightarrow BC=5x\\
\frac{CD}{7}=x\Rightarrow CD=7x
\end{align*}

Estas longitudes, las colocamos en un gráfico de la siguiente manera:

segmentos geometria 10

La incógnita es: BC = 5x; el dato: AC + BD = 76.

De la figura: 7x + 12x = 76 entonces x = 4

Finalmente: BC = 5(4)

Por lo tanto BC=20

Pregunta 11

A, B, C son puntos colineales y consecutivos, tal que: AB – BC = 28. Calcular MB, sabiendo que M es punto medio del segmento AC.

Solución:

En este problema aparentemente faltan datos. Pero, tal dificultad se salva representando las longitudes como en la figura, donde MB = x es la incógnita.

Además, si BC = y, tendremos que MC = x + y.

También: AM = x + y, porque M es punto medio de AC.

Sustituyendo en el dato:

segmentos geometria 11

AB – BC = 28 entonces (x + y + x) – y = 28

2x = 28 entonces x = 14

Por lo tanto: MB = 14.

Pregunta 12

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R, S, T y U. Calcular QT, sabiendo que Q y T son puntos medios de PR y SU, respectivamente; y además PS + RU = 38.

Solución:

Graficamos:

segmentos geometria 12

En la figura, las longitudes iguales están representadas por letras minúsculas iguales. La incógnita es QT = a + b + c …(1)

Del enunciado: PS + RU = 38

(2a + b) + (b + 2c) = 38

2a + 2b + 2c = 38 entonces 2(a + b + c)=38

a + b + c = 19

Por lo tanto: QT = 19

Pregunta 13

Los puntos A, B y C son colineales y consecutivos. Calcular BC, si AC = 36 y 5AB + 3BC = 150.

Solución:

segmentos geometria 13

La incógnita BC = x, está indicada en la figura:

Del enunciado: 5AB + 3BC = 150

Sustituyendo: 5(36 – x) + 3x = 150

180 – 5x + 3x = 150 entonces x = 15

Por lo tanto: BC=15

Pregunta 14

Dados los puntos colineales y consecutivos P, Q, R, S, T y U; calcular PU, sabiendo que: PR + QS + RT + SU = 54 y QT=4/5(PU)

Solución:

Como se indica que QT=4/5(PU), debemos obtener otra relación entre PU y QT. Para ello vamos agrupar convenientemente las longitudes en el otro dato.

segmentos geometria 14

Agrupando según lo indicado:

(PR + RT) + (QS + SU) = 54

De acuerdo con la figura: PT + QU = 54

Desdoblando QU: PT + (QT + TU) = 54

Ahora: PU + QT = 54

Sustituyendo el dato:

PU+\frac{4}{5}PU=54
\rightarrow \frac{9}{5}PU=54

Por lo tanto: PU=30

Pregunta 15

A, B y C son puntos colineales y consecutivos, M
es punto medio de AB y N punto medio de BC. Calcular
AC, AN = 57 y MC = 48.

Solución:

Realizamos el siguiente gráfico:

segmentos geometria 15

En la figura, la incógnita es: AC = 2(x + y) …(1)

Se observa también que:

2x + y = 57 …(2)

x + 2y = 48 …(3)

Sumando miembro a miembro las expresiones (2) y (3):
3x + 3y = 105 entonces 3(x + y) = 105

Obtenemos: x + y = 35

Sustituyendo en (1): AC = 2(35)

Por lo tanto: AC=70

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Pregunta 16

Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, calcular BC, si: AB(CD) = 4,5 y además AB(BD) + AC(CD) = BC(AD)

Solución:

Graficamos la información de la siguiente manera:

segmentos geometria 16

En la figura considerando las longitudes AB = m, CD = n y BC = x (incógnita), tenemos:

AB(CD) = 4,5 entonces m(n) = 4,5 …(1)

AB(BD) + AC(CD) = BC(AD)
m(x + n) + (m + x)n = x(m + x + n)

Efectuando: mx + mn + mn + nx = mx + x2 + nx

Cancelando: mn + mn = x2

Sustituyendo lo de (1): 4,5 + 4,5 = x2

9 = x2

Luego: x = 3

Por lo tanto: BC=3

Pregunta 17

P, Q y R son puntos colineales y consecutivos, tal que: PQ – QR = 24. Sabiendo que M, N y T bisecan a PQ, QR y MN, respectivamente, calcular QT.

Solución:

Realizamos el gráfico:

segmentos geometria 17

Si M biseca a PQ, entonces M es punto medio de PQ. Análogamente, N y T son puntos medios de QR y MN, respectivamente.

En la figura, QT = x es la incógnita.

Además, si QN = a, también será NR = a.

Luego: TN = x + a = MT y MQ = 2x + a = PM

Sustituyendo en el dato:
PQ – QR = 24 entonces (4x + 2a) – 2a = 24

4x = 24 entonces: x = 6

Por lo tanto: QT=6

Pregunta 18

A, B, C, D son puntos colineales y consecutivos tal que AD – BC = 28. Si P y Q son puntos medios de AC y BD, respectivamente, calcular PQ.

Solución:

Graficamos la información:

segmentos geometria 18

En la figura, hemos supuesto que AB < BC < CD.

La incógnita: PQ = b + c.

Además, si BP = a, será: BQ = a + b + c = QD

Sustituyendo en el dato: AD – BC = 28

(AP + PQ + QD) – (BP +’ PC) = 28

Tendremos: (b + b+ c + a + b + c) – (a + b) = 28

2b + 2c = 28 entonces b + c = 14

Por lo tanto: PQ=14

Pregunta 19

A, B, C, D, E y F son puntos colineales y consecutivos. B biseca a AC y E biseca a DF. Calcular AD, si CF = 26 y BE = 20.

Solución:

Realizamos la gráfica:

segmentos geometria 19

En la figura, la incógnita es: AD = 2a + b …(1)

Además, se observa que: b + 2c = 26…(2)

También: a + b + c = 20 …(3)

Para obtener 2a+ b, que es lo que nos interesa en (1), efectuamos lo siguiente:
Multiplicamos por 2, miembro a miembro, la expresión (3): 2a + 2b + 2c = 40

Lo de (2) es: b + 2c = 26
Restamos miembro a miembro estas dos últimas relaciones: 2a + b = 14

Finalmente, sustituyendo esto en (1): AD = 14

Pregunta 20

En la figura, x solo puede tomar valores enteros. Calcular la suma de dichos valores.

segmentos ejercicios pregunta 20

Solución:

La longitud de todo segmento es un número positivo que depende de la unidad elegida. Esto quiere decir que en la figura se debe cumplir: AB > 0 y BC > 0. De estas dos desigualdades vamos a obtener
inecuaciones que nos darán el conjunto de
valores de x.

Como AB > 0 entonces 2x – 5 > 0

\begin{align}
\rightarrow x>\frac{5}{2}\rightarrow x> 2,5
\end{align}

Además:

BC > 0 entonces 17 – 4x > 0

\begin{align}
\rightarrow 4x<17\rightarrow x<4,25
\end{align}

Observando (9) y (10), concluimos que los únicos valores enteros de x son 3 y 4.

Por lo tanto la suma de estos valores: 3 + 4 = 7

Pregunta 21

Sean los puntos colineales y consecutivos F, A, G. Si FA = a + 2b; AG = 2a – b; FG = 23; calcular la suma de valores enteros que puede tomar a.

Solución:

Realizamos la grafica:

segmentos ejercicios 21

En la figura: (a + 2b) + (2a – b) = 23

3a + b = 23 entonces b = 23 — 3a …(1)

Se debe cumplir: AG > 0; entonces 2a – b > 0

Con lo de (1): 2a – (23 – 3a) > 0

5a – 23 > 0, entonces 5a > 23 obtenemos que a > 23/5

De aquí: a > 4,6 …(2)

De (2), dando valores a la variable a y sustituyéndolos en (1), obtenemos los valores de b.

Solo debemos cuidar que FA = a + 2b, sea positivo.

Veamos:

segmentos cuadro de tabulacion

Por lo tanto, la suma de valores enteros de a es: 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35

Pregunta 22

Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 8 y CD = 20. Si M y N son puntos medios de AC y BD, respectivamente, calcular MN.

Solución:

Realizamos una gráfica para entender mejor el ejercicio y obtenemos:

grafica de segmentos ejercicios pregunta 21

En la figura, MB = x; BC = y; CN = z, la incógnita será: MN = x + y + z …(1)

Además:

  • MC = x + y = AM;
  • BN = y + z = ND

Como:

  • AB = 8, entonces 2x + y = 8 …(2)
  • CD = 20, entonces y + 2z = 20 …(3)

De (2) + (3): 2(x + y + z) = 28, entonces: x + y + z = 14

Por lo tanto sustituyendo en (1): MN = 14

Pregunta 23

Dados los puntos colineales y consecutivos A,B y C se sabe que AC = 44; P, Q, M y N son puntos medios de AB, BC, AQ y PC, respectivamente. Calcular MN.

Solución:

Graficamos lo descrito en el enunciado:

segmentos geometria 23

En la figura, la incógnita es MN = x

Además BM = y; NQ = z; PB = w = AP

QC = BQ = x + y + z

De: AC = 44, tenemos:

2x + 2y + 2z + 2w = 44
Luego: x + y + z + w = 22 …(1)

De: AM = MQ tenemos y + 2w = x + z …(2)

De: NC = PN tenemos x + y + 2z = x + y + w …(3)

Sumando miembro a miembro (2) y (3):
x + 2y + 2z + 2w = 2x + y + z + w

De donde: y + z + w = x …(4)

Finalmente, (4) en (1):

x + x = 22
x = 11

Por lo tanto: MN=11

Pregunta 24

Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B y C. Además M y N son puntos medios de AC y BC, respectivamente. Calcular AB, si AB + MN = 18.

Solución:

Graficamos los segmentos:

segmentos ejercicios pregunta 24

Incógnita: AB = x

Si BM = a, MN = y, entonces BN = a + y = NC

El dato es: x + y = 18 …(1)

Como: AM = MC reemplazando:

x + a = y + a + y
x = 2y …(2)

Sustituyendo (2) en (1):

2y + y = 18, entonces y = 6

Luego, en (2):

x = 2(6) = 12

Por lo tanto: AB=12

Pregunta 25

Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E, F, G, H, de modo que: AD + BE + CF + DG + EH = 84; BG = 3/5(AH) y CF = 5/6(BG). Calcular AH.

Solución:

Ubicamos los puntos en el segmento:

segmentos geometria pregunta 25

La incógnita en el problema es AH.

Datos:

\begin{align*}
BG&=\frac{3}{5}AH\\
CF&=\frac{5}{6}BG=\frac{5}{6}\left ( \frac{3}{5}AH \right )=\frac{AH}{2}
\end{align*}

Además:

AD + BE + CF + DG + EH = 84

Es decir:

AD+DG=AG; BE+EH=BH

Entonces:

AG + CF + BH = 84

Desdoblando BH:
AG + CF + BG + GH = 84

Luego: AH + CF + BG = 84

Con los otros datos:

AH+\frac{AH}{2}+\frac{3}{5}AH=84
\Rightarrow \frac{10AH+5AH+6AH}{10}=84
\Rightarrow \frac{21AH}{10}=84

Por lo tanto: AH=40

Segmentos ejercicios resueltos PDF

Ahora llegó tu momento, te voy a dejar un enlace con una serie de ejercicios propuestos sobre segmentos para que tu los resuelvas y puedas demostrar que has aprendido como se debería.

No te preocupes que todos tienen claves de respuestas.

Segmentos ejercicios YouTube

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Conclusiones del tema Segmentos Ejercicios

Espero haberte podido ayudar. No olvides que todo depende de ti, de la practica que tengas y las ganas que le metas.

Aquí te comparto un enlace a un artículo que habla un poco más de la parte teórica de los segmentos, te va servir de mucho si aún no tienes mucho dominio con los segmentos.

Si quieres recomendarme algún tema, o darme alguna sugerencia, puedes dejarme tus comentarios al final de este artículo titulado «Segmentos Ejercicios«.

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